Content

• Passos
• Part 1 de 3: Transposar la matriu
• Part 2 de 3: Propietats de transposició
• Part 3 de 3: matriu conjugada hermitiana amb elements complexos
• Consells

Si apreneu a transposar les matrius, coneixereu millor la seva estructura. Potser ja coneixeu les matrius quadrades i la seva simetria per ajudar-vos a dominar la transposició. Entre altres coses, la transposició ajuda a transformar els vectors en forma de matriu i a trobar productes vectorials. Quan es treballa amb matrius complexes, les matrius Hermiti-conjugat (conjugat-transposat) us poden ajudar a resoldre diversos problemes.

Passos

Part 1 de 3: Transposar la matriu

1. 1 Pren qualsevol matriu. Es pot transposar qualsevol matriu, independentment del nombre de files i columnes. Molt sovint és necessari transposar matrius quadrades que tinguin el mateix nombre de files i columnes, de manera que, per simplificar-ho, considereu la següent matriu com a exemple:
   • la matriu A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Imagineu la primera fila d’una matriu directa com la primera columna de la matriu transposada. Només cal que escriviu la primera línia com a columna:
   • matriu transposada = A
   • primera columna de la matriu A:
     1
     2
     3
3. 3 Feu el mateix per a la resta de línies. La segona fila de la matriu original es convertirà en la segona columna de la matriu transposada. Tradueix totes les files a columnes:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Intenta transposar una matriu no quadrada. Qualsevol matriu rectangular es pot transposar de la mateixa manera. Només cal que escriviu la primera línia com a primera columna, la segona com a segona columna, etc. A l'exemple següent, cada fila de la matriu original està marcada amb el seu propi color per deixar més clar com es transforma quan es transposa:
   • la matriu Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • la matriu Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Expressem la transposició en forma de notació matemàtica. Tot i que la idea de transposició és molt senzilla, el millor és escriure-la com a fórmula estricta. La notació matricial no requereix termes especials:
   • Suposem que es dóna una matriu B que consisteix en m x n elements (m files i n columnes), llavors la matriu B transposada és un conjunt de n x m elements (n files i m columnes).
   • Per a cada element b_xy (línia x i columna y) de la matriu B de la matriu B existeix un element equivalent b_yx (línia y i columna x).

Part 2 de 3: Propietats de transposició

1. 1 (M = M. Després de la doble transposició, s’obté la matriu original. Això és bastant obvi, ja que quan torneu a transposar, canvieu de nou les files i les columnes, donant lloc a la matriu original.
2. 2 Reflecteix la matriu al voltant de la diagonal principal. Les matrius quadrades es poden "capgirar" en relació amb la diagonal principal. A més, els elements de la diagonal principal (a₁₁ a la cantonada inferior dreta de la matriu) romanen al seu lloc i la resta d’elements es mouen a l’altre costat d’aquesta diagonal i es queden a la mateixa distància d’ella.
   • Si us costa imaginar aquest mètode, agafeu un tros de paper i dibuixeu una matriu 4x4. A continuació, reordeneu els seus elements laterals en relació amb la diagonal principal. Al mateix temps, traça els elements a₁₄ i a₄₁... Quan es transposen, s’han d’intercanviar com altres parells d’elements laterals.
3. 3 Transposar la matriu simètrica. Els elements d'aquesta matriu són simètrics respecte a la diagonal principal. Si feu l'operació anterior i "gireu" la matriu simètrica, no canviarà. Tots els elements canviaran a elements similars. De fet, aquesta és la forma estàndard de determinar si una matriu determinada és simètrica. Si es manté la igualtat A = A, la matriu A és simètrica.

Part 3 de 3: matriu conjugada hermitiana amb elements complexos

1. 1 Penseu en una matriu complexa. Els elements d’una matriu complexa es componen de parts reals i imaginàries. Aquesta matriu també es pot transposar, tot i que en la majoria d’aplicacions pràctiques s’utilitzen matrius conjugades-transposades o hermitians-conjugades.
   • Es donarà una matriu C =
     2+jo     3-2jo
     0+jo     5+0jo
2. 2 Substitueix els elements per nombres conjugats complexos. En l’operació de la conjugació complexa, la part real continua sent la mateixa i la part imaginària canvia el seu signe al contrari. Fem-ho amb els quatre elements de la matriu.
   • trobeu la matriu conjugada complexa C * =
     2-jo     3+2jo
     0-jo     5-0jo
3. 3 Transposem la matriu resultant. Agafeu la matriu conjugada complexa trobada i simplement trasponeu-la. Com a resultat, obtenim una matriu transposada conjugada (conjugada hermitiana).
   • la matriu transposada conjugada C =
     2-jo        0-jo
     3+2jo     5-0jo

Consells

• En aquest article, la matriu transposada relativa a la matriu A es denota com A. També hi ha la notació A 'o Ã.
• En aquest article, la matriu conjugada hermitiana respecte a la matriu A es denota com A, que és una notació comuna en l'àlgebra lineal. En mecànica quàntica, sovint s’utilitza la notació A.De vegades, una matriu conjugada hermitiana s'escriu en la forma A *, però és millor evitar aquesta notació, ja que també s'utilitza per escriure una matriu conjugada complexa.