Factoritzar equacions de segon grau

Vídeo: Equació de 2on grau: simplificar i factoritzar

Content

Per trepitjar
El començament
Mètode 1 de 6: prova i error
Mètode 2 de 6: Descomposició
Mètode 3 de 6: Triple Play
Mètode 4 de 6: la diferència entre dos quadrats
Mètode 5 de 6: la fórmula ABC
Mètode 6 de 6: utilitzar una calculadora
Consells
Advertiments
Necessitats

Un polinomi conté una variable (x) a una potència determinada i diversos termes i / o constants. Per tenir en compte un polinomi, haureu de dividir l'expressió en expressions més petites que es multipliquen juntes. Això requereix un cert nivell de matemàtiques i, per tant, pot ser difícil d’entendre si encara no esteu tan lluny.

Per trepitjar

El començament

L’equació. El format estàndard per a una equació de segon grau és:

ax + bx + c = 0
Comenceu ordenant els termes de la vostra equació de la potència més alta a la més baixa. Per exemple, preneu:

6 + 6x + 13x = 0
Reordenarem aquesta expressió perquè sigui més fàcil treballar-hi, simplement movent els termes:

6x + 13x + 6 = 0
Cerqueu els factors mitjançant un dels mètodes següents. Factoritzar el polinomi donarà lloc a dues expressions més petites que es poden multiplicar juntes per obtenir el polinomi original:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
En aquest exemple, (2x +3) i (3x + 2) ho són factors a partir de l’expressió original, 6x + 13x + 6.
Comproveu el vostre treball! Multipliqueu els factors que heu trobat. Combina els mateixos termes i ja està. Començar amb:

(2x + 3) (3x + 2)
Anem a provar-ho, multiplicant els termes mitjançant EBBL (primer - exterior - interior - últim), que ens dóna:

6x + 4x + 9x + 6
Ara afegim 4x i 9x junts perquè són termes iguals. Sabem que els factors són correctes perquè recuperem l'equació amb què vam començar:

6x + 13x + 6

Mètode 1 de 6: prova i error

Si teniu un polinomi bastant senzill, podreu veure quins són els factors immediatament. Per exemple, després d’alguna pràctica, molts matemàtics són capaços de veure l’expressió 4x + 4x + 1 té els factors (2x + 1) i (2x + 1) simplement perquè ho han vist tantes vegades. (Obbviament, això no serà tan fàcil amb polinomis més complicats.) Prenem una expressió menys estàndard per a aquest exemple:

3x + 2x - 8

Anoteu els factors del fitxer a termini i el c termini. Utilitzeu el format ax + bx + c = 0, reconegueu el a i c termes i observeu quins factors hi ha. Per a 3x + 2x - 8, això significa:

a = 3 i té 1 parell de factors: 1 * 3
c = -8 i té 4 parells de factors: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 i -1 * 8.
Anoteu dos parells de parèntesis amb un espai buit. Aquí introduïu les constants de cada expressió:

(x) (x)
Ompliu l'espai abans de les x amb una sèrie de possibles factors de la a valor. Per al a terme al nostre exemple, 3x, només hi ha 1 possibilitat:

(3x) (1x)
Empleneu els 2 espais després de les x amb alguns factors per a les constants. Suposem que escollim 8 i 1. Introduïu això:

(3x8) (X1)
Determineu quins signes (més o menys) hi ha d’haver entre les x variables i els nombres. Depenent dels caràcters de l’expressió original, és possible esbrinar quins haurien de ser els caràcters de les constants. Prenem les dues constants dels dos factors h i k esmentar:

Si ax + bx + c llavors (x + h) (x + k)
Si ax - bx - c o ax + bx - c llavors (x - h) (x + k)
Si ax - bx + c llavors (x - h) (x - k)
En el nostre exemple, 3x + 2x - 8, el signe és: (x - h) (x + k), que ens dóna els dos factors següents:

(3x + 8) i (x - 1)
Posa a prova la teva elecció amb la primera multiplicació exterior-interior-últim. Una primera prova ràpida per veure si el terme mitjà és almenys el valor correcte. Si no, és probable que no tingueu cap error c factors escollits. Anem a provar la resposta:

(3x + 8) (x - 1)
Per multiplicació obtenim:

3x - 3x + 8x - 8
Simplifiqueu aquesta expressió afegint els termes semblants (-3x) i (8x), i obtenim:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ara sabem que hem pres els factors equivocats:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Canvieu les opcions, si cal. En el nostre exemple, provem 2 i 4, en lloc d’1 i 8:

(3x + 2) (x - 4)
Ara el nostre c un terme igual a -8, però el producte exterior / interior de (3x * -4) i (2 * x) és -12x i 2x, que no és el correcte b termini o + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Invertiu l'ordre si cal. Intentem donar la volta al 2 i al 4:

(3x + 4) (x - 2)
Ara el nostre c terme (4 * 2 = 8) i encara està bé, però els productes exteriors / interiors són -6x i 4x. Quan els combinem obtenim:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Ara ens estem aproximant a 2x on volem estar, però el signe encara no és correcte.
Comproveu els vostres personatges si cal. Mantenim aquest ordre, però el canviem amb el signe menys:

(3x - 4) (x + 2)
Ara el c el terme encara està bé, i els productes externs / interiors són ara (6x) i (-4x). Perquè:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Ara veiem el 2x positiu enrere del problema original. Aquests han de ser els factors adequats.

Mètode 2 de 6: Descomposició

Aquest mètode dóna tots els possibles factors a i c termes i els utilitza per esbrinar quins factors són correctes. Si les xifres són molt grans o si les suposicions d'altres mètodes trigaran massa, utilitzeu aquesta manera. Un exemple:

6x + 13x + 6

Multiplicar el fitxer a terme amb el c termini. En aquest exemple, a és 6 i c també és 6.

6 * 6 = 36
Troba el b termini per factorització i proves. Cerquem 2 nombres que siguin factors de a * c , i junts b terme (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Substituïu els dos números que obtingueu a la vostra equació per la suma de b termini. Anem k i h per representar els 2 nombres que tenim, 4 i 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Factoreu el polinomi agrupant-lo. Organitzeu l’equació de manera que pugueu separar el màxim divisor comú dels dos primers termes i dels dos últims termes. Els dos factors haurien de ser els mateixos. Afegiu els GGD junts i col·loqueu-los entre claudàtors, al costat dels factors; com a resultat obtindreu els dos factors:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Mètode 3 de 6: Triple Play

Semblant al mètode de descomposició. El mètode de "triple joc" examina els possibles factors del producte de a i c i utilitzeu-lo per esbrinar què b ha de ser. Prenguem com a exemple l’equació:

8x + 10x + 2

Multiplicar el fitxer a terme amb el c termini. Igual que amb el mètode de descomposició, ho fem servir per determinar els candidats a la b termini. En aquest exemple: a és de 8 i c és 2.

8 * 2 = 16
Cerqueu els 2 números amb aquest número com a producte i amb una suma igual a b termini. Aquest pas és el mateix que el mètode de descomposició: provem candidats per a les constants. El producte del a i c termes és 16 i el c el termini és 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Agafeu aquests 2 números i substituïu-los per la fórmula del "triple joc". Agafeu els 2 números del pas anterior: obtenim-los h i k truca’ls i posa’ls a l’expressió:

((ax + h) (ax + k)) / a

Amb això obtenim:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Vegeu quin dels dos termes del denominador es pot dividir completament a. En aquest exemple, estem veient si (8x + 8) o (8x + 2) es pot dividir per 8. (8x + 8) és divisible per 8, de manera que dividim aquest terme per a i deixem l’altre afectat.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
El terme que hem conservat aquí és el que queda després de dividir-lo per a terme: (x + 1)
Prengui el màxim comú divisor (mcd) d'un o dels dos termes, si és possible. En aquest exemple veiem que el segon terme té un mcd de 2, perquè 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combineu aquesta resposta amb el terme que heu descobert al pas anterior. Aquests són els factors de la vostra comparació.

2 (x + 1) (4x + 1)

Mètode 4 de 6: la diferència entre dos quadrats

Podeu reconèixer alguns coeficients en un polinomi com a "quadrats", o també com a producte de 2 nombres idèntics. En esbrinar quins són els quadrats, podreu factoritzar els polinomis molt més ràpidament. Prenem l’equació:

27x - 12 = 0

Traieu el mcd de l'equació, si és possible. En aquest cas veiem que 27 i 12 són divisibles per 3, de manera que podem situar-los per separat:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Determineu si els coeficients de la vostra equació són quadrats. Per utilitzar aquest mètode és necessari determinar l’arrel dels termes. (Tingueu en compte que hem omès els signes menys, ja que aquests nombres són quadrats, poden ser el producte de 2 nombres negatius)

9x = 3x * 3x i 4 = 2 * 2
Amb l’arrel quadrada que heu determinat, ara podeu escriure els factors. Prenem el a i c valors del pas anterior: a = 9 i c = 4, de manera que les arrels d’aquest són: - √a = 3 i √c = 2. Aquests són els coeficients de les expressions factoritzades:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Mètode 5 de 6: la fórmula ABC

Si res no funciona i no podeu resoldre l’equació, utilitzeu la fórmula abc. Preneu l'exemple següent:

x + 4x + 1 = 0

Introduïu els valors corresponents a la fórmula abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Ara obtenim l’expressió:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Resol per x. Ara hauríeu d'obtenir 2 valors per a x. Aquests són:

x = -2 + √ (3) o x = -2 - √ (3)
Utilitzeu els valors de x per determinar els factors. Introduïu els valors x obtinguts a les dues equacions com a constants. Aquests són els vostres factors. Si responem als dos h i k anotem els dos factors de la següent manera:

(x - h) (x - k)
En aquest cas, la resposta final és:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Mètode 6 de 6: utilitzar una calculadora

Si es permet (o és obligatori) utilitzar una calculadora gràfica, això facilita molt el factoratge, especialment per a exàmens i exàmens. Les instruccions següents són per a una calculadora gràfica TI. Utilitzem l’equació de l’exemple:

y = x - x - 2

Introduïu l'equació a la calculadora. Utilitzarà el solucionador d’equacions, també conegut com a pantalla [Y =].
Dibuixa gràficament l’equació amb la calculadora. Quan hàgiu introduït l'equació, premeu [GRAPH]: ara hauríeu de veure una línia corba, una paràbola com a representació gràfica de la vostra equació (i és una paràbola perquè tractem d'un polinomi).
Trobeu on es creua la paràbola amb l’eix x. Com que una equació de segon grau s’escriu tradicionalment com ax + bx + c = 0, aquests són els dos valors x que fan que l’equació sigui igual a zero:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Si no podeu veure on es creua la paràbola amb l'eix x, premeu [2n] i després [TRACA]. Premeu [2] o seleccioneu "zero". Moveu el cursor cap a l'esquerra d'una intersecció i premeu [ENTER]. Moveu el cursor cap a la dreta d’una intersecció i premeu [ENTER]. Mou el cursor el més a prop possible del punt d’intersecció i prem [ENTER]. La calculadora indicarà el valor x. Feu-ho també per l'altra intersecció.
Introduïu els valors x que heu obtingut a les dues expressions factoritzades. Si prenem els dos valors x h i k com a terme, l'expressió que fem servir té aquest aspecte:

(x - h) (x - k) = 0
Els nostres dos factors es converteixen en:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Consells

Si heu tingut en compte el polinomi amb la fórmula abc i la vostra resposta conté arrels, podeu convertir els valors x en fraccions per comprovar-los.
Si un terme no té cap coeficient abans, llavors el coeficient és igual a 1, per exemple, x = 1x.
Si teniu una calculadora TI-84, hi ha un programa anomenat SOLVER que us pot resoldre una equació de segon grau. També resol polinomis de grau superior.
Després de molta pràctica, al final podreu resoldre polinomis de memòria. Però, per estar segur, és millor escriure-les sempre.
Si no existeix un terme, el coeficient és zero. Aleshores pot ser útil reescriure l’equació. Per exemple. x + 6 = x + 0x + 6.

Advertiments

Si esteu aprenent aquest concepte a la classe de matemàtiques, presteu atenció al que explica el professor i no utilitzeu només el vostre propi mètode preferit. És possible que se us demani que utilitzeu un mètode específic per fer una prova o bé no es permetran les calculadores gràfiques.