Content

• Per trepitjar
• Consells

Com a gràfic, vegeu una equació de segon grau ax + bx + c , també que s'escriu com a (x - h) + k, sembla una corba suau en forma d’U. En diem aquest paràbola. Representar gràficament una equació de segon grau consisteix a trobar el vèrtex, la direcció i sovint els punts d’intersecció amb l’eix x i l’eix y. En el cas de l'equació de segon grau relativament simple, també pot ser suficient introduir una sèrie de valors per a x per indicar aquests punts al sistema de coordenades, després dels quals es pot dibuixar la paràbola. Continueu amb el pas 1 per començar.

Per trepitjar

1. Determineu quin tipus d’equació de segon grau teniu. Es pot escriure de dues maneres: la notació estàndard i la notació vèrtex (una altra manera d’escriure la fórmula de l’arrel quadrada). Podeu fer servir tots dos per crear un gràfic d'una equació de segon grau, però el procés és lleugerament diferent en cada cas. La majoria de les vegades us trobareu amb la forma estàndard, però sens dubte no fa mal aprendre a utilitzar les dues formes. Les dues formes d'una equació de segon grau són:
   • La forma estàndard. L’equació de segon grau s’observa com: f (x) = ax + bx + c on a, b i c són nombres reals i a no és igual a zero.
     • Dos exemples d’equacions de segon grau estàndard: f (x) = x + 2x + 1 i f (x) = 9x + 10x -8.
   • La forma del vèrtex. L’equació de segon grau s’observa com: f (x) = a (x - h) + k on a, h i k són nombres reals i a no és igual a zero. Aquesta forma s’anomena vèrtex perquè h i k fan referència directament a la part superior de la paràbola en el punt (h, k).
     • Dos exemples d’equacions de vèrtex són f (x) = 9 (x - 4) + 18 i -3 (x - 5) + 1
   • Per fer un gràfic d’aquestes equacions, primer determinem la part superior (h, k) del gràfic. A l’equació estàndard ho trobareu mitjançant: h = -b / 2a i k = f (h), mentre que això ja es dóna en forma de vèrtex perquè h i k es produeixen a l’equació.
2. Determineu les vostres variables. Per resoldre una equació de segon grau normalment és necessari determinar les variables a, b i c (o a, h i k). Un exercici regular us proporcionarà una equació de segon grau en la forma estàndard, però també es pot produir la notació del vèrtex.
   • Per exemple: la funció estàndard f (x) = 2x + 16x + 39. Aquí tenim a = 2, b = 16 i c = 39.
   • En notació de vèrtex: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Aquí tenim a = 4, h = 5 i k = 12.
3. Calculeu h. A la notació de vèrtex, el valor de h ja es dóna, però a la notació estàndard aquest valor encara no s’ha calculat. Recordeu que amb l'equació estàndard es manté: h = -b / 2a.
   • Exemple 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). En resoldre això, veiem que h = -4.
   • Exemple 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), veiem immediatament que h = 5.
4. Calculeu k. Com passa amb h, k ja és coneguda per les equacions de vèrtex. Per a equacions en notació estàndard, recordeu que k = f (h). En altres paraules, podeu trobar k substituint qualsevol variable x pel valor de h.
   • Hem vist per exemple 1 que h = -4. Per trobar k, resolem aquesta equació omplint aquest valor de h a l'equació, per a la variable x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • A partir de l'exemple 2 sabem que el valor de k és igual a 12, sense necessitat de cap càlcul.
5. Dibuixa la part superior o inferior del gràfic. L’àpex o la vall de la paràbola és el punt (h, k) - h representa la coordenada x i k representa la coordenada y. El vèrtex és el centre de la paràbola: el punt més alt o més baix, el vèrtex o la vall, d'un gràfic en forma de "U" o viceversa.Poder determinar la part superior d’una paràbola és una part essencial per dibuixar un gràfic correcte; sovint determinar la part superior d’una paràbola forma part d’un problema de matemàtiques a l’escola.
   • A l'exemple 1, la part superior del gràfic és (-4,7). Dibuixeu el punt del gràfic i assegureu-vos de posar un nom correcte a les coordenades.
   • A l'exemple 2, la part superior és (5.12). Així doncs, des del punt (0,0) aneu 5 llocs a la dreta i després pugeu 12.
6. Si cal, dibuixeu l’eix de simetria de la paràbola. L’eix de simetria d’una paràbola és la línia que talla la figura al mig, dividint-la exactament per la meitat. Un costat del gràfic es reflecteix al llarg d’aquesta línia a l’altre costat del gràfic. En equacions quadràtiques de ax + bx + c o a (x - h) + k, aquest eix és la línia paral·lela a l’eix y que passa per l’àpex de la paràbola.
   • En el cas de l'exemple 1, l'eix de simetria és la línia paral·lela a l'eix y i passa pel punt (-4,7). Tot i que no forma part de la paràbola en si mateixa, ressaltar lleument aquesta pauta us pot mostrar la simetria de la corba de la paràbola.
7. Determineu la direcció de la paràbola. Després d’haver descobert quina és la part superior de la paràbola, cal saber si es tracta d’una paràbola de muntanya o vall, és a dir, si l’obertura es troba a la part inferior o a la part superior. Afortunadament, això és molt fàcil. Si "a" és positiu, es tracta d'una paràbola de la vall; si "a" és negativa és una paràbola de muntanya (amb l'obertura a la part inferior)
   • A l'exemple 1 tractem de la funció (f (x) = 2x + 16x + 39), de manera que es tracta d'una paràbola de vall, perquè a = 2 (positiva).
   • A l'exemple 2 tractem de la funció f (x) = 4 (x - 5) + 12), i això també és una paràbola de la vall perquè a = 4 (positiva).
8. Determineu els punts d’intersecció de la paràbola si cal. Sovint, quan es demana a un problema de matemàtiques que doni les interseccions de la paràbola amb l'eix X (aquestes són "zero", a o bé dos punts on la paràbola es creua o xoca amb l’eix x). Fins i tot si no se’ls demana, aquests punts són molt importants per poder dibuixar un gràfic precís. Però no totes les paràboles tenen una intersecció amb l’eix x. Si es tracta d’una paràbola de la vall i el punt de la vall està per sobre de l’eix x o, en el cas d’una paràbola de muntanya, just per sota de l’eix x, simplement no hi ha punts d’intersecció. Si és així, utilitzeu un dels mètodes següents:
   • Determineu que f (x) = 0 i resoleu l’equació. Aquest mètode pot funcionar per a equacions quadràtiques simples, especialment en forma de vèrtex, però trobareu que això es fa cada vegada més difícil a mesura que les funcions es tornen més complexes. A continuació es detallen alguns exemples.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 són els punts d'intersecció amb l'eix x de la paràbola.
   • Tingueu en compte l’equació. Algunes equacions en la forma ax + bx + c es poden reescriure fàcilment com (dx + e) ​​(fx + g), on dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, i e × g = c. En aquest cas, les interseccions x són els valors de x on cada terme entre parèntesis esdevé igual a 0. Per exemple:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • En aquest cas, el punt d'intersecció és -1 perquè, introduït en ambdós factors, produeix zero.
   • Utilitzeu la fórmula abc. Si no és fàcil esbrinar les interseccions o factoritzar l'equació, utilitzeu la "fórmula abc" específicament per a aquest propòsit. Suposem una equació en la forma ax + bx + c. A continuació, introduïu els valors de a, b i c, a la fórmula x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Tingueu en compte que sovint us donen dues respostes per a x, que està bé; això significa que la paràbola té dues interseccions amb l'eix x. Aquí teniu un exemple:
     • Introduïu -5x + 1x + 10 a l'equació de la manera següent:
     • x = (-1 +/- SqRt (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) i (-15,18 / -10). Els punts d’intersecció de la paràbola amb l’eix x són aproximadament x = -1,318 i 1,518
     • Com a l'exemple 1 amb l'equació 2x + 16x + 39, es veurà així:
     • x = (-16 +/- SqRt (16-4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Com que no és possible trobar l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, sabem que no hi ha punts d’intersecció amb l’eix x per a aquesta paràbola en particular.
9. Si cal, determineu la intersecció de la paràbola amb l’eix y. Sovint no és necessari, però de vegades és necessari trobar aquesta intersecció, per exemple per a un problema de matemàtiques. Això és bastant fàcil: estableix el valor de x a 0 i resol l’equació de f (x) o y, que et dóna el valor y del punt on la paràbola es creua amb l’eix y. La diferència amb els punts d’intersecció a través de l’eix x és que a l’eix y sempre hi ha només un punt d’intersecció. Nota: amb equacions estàndard, la intersecció amb l'eix y és a y = c.
   • Per exemple, sabem que la nostra equació de segon grau 2x + 16x + 39 té una intersecció y = 39, però també ho podem trobar de la següent manera:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. La intersecció de la paràbola amb l'eix y: y = 39. Com s’ha indicat anteriorment, podem llegir fàcilment el punt d’intersecció perquè y = c.
   • L'equació 4 (x - 5) + 12 té una intersecció amb l'eix y que es pot trobar de la següent manera:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. La intersecció amb l'eix y: y = 112.
10. Si creieu que això és necessari, primer dibuixeu punts addicionals i després tot el gràfic. Ara hauríeu de tenir un cim o una vall, una direcció, punts d’intersecció amb l’eix x i possiblement amb l’eix y de la vostra equació. A partir d’aquest moment podeu provar de dibuixar la paràbola utilitzant aquests punts o podeu cercar més punts per fer el gràfic més precís. La forma més senzilla de fer-ho és simplement introduir un nombre de valors x, que retornaran un nombre de valors y. Sovint se us demanarà (pel professor) que calculeu una sèrie de punts abans de començar a dibuixar la paràbola.
    • Vegem una altra vegada l’equació x + 2x + 1. Ja sabem que l’única intersecció amb l’eix x és (-1,0). Com que només toca l’eix x en aquest punt, podem deduir que la part superior del gràfic és igual a aquest punt. Fins ara només tenim un punt d’aquesta paràbola, ni tan sols suficient per dibuixar un gràfic. Cerquem alguns punts més per assegurar-nos que tenim més valors.
      • Intentem trobar els valors y que corresponen als x valors següents: 0, 1, -2 i -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Llavors el punt (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Llavors el punt (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Llavors el punt (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Llavors el punt (-3,4).
      • Col·loqueu aquests punts al gràfic i dibuixeu la paràbola. Tingueu en compte que la paràbola és completament simètrica; si coneixeu els punts d’un costat del gràfic, normalment podeu estalviar-vos molta feina utilitzant aquests punts per trobar els punts de l’altre costat de l’eix de simetria.

Consells

• Si cal, arrodoneix els nombres o utilitza fraccions. Això pot ajudar a visualitzar correctament un gràfic.
• Tingueu en compte que si, per a la funció f (x) = ax + bx + c, b o c són iguals a zero, aquests termes desapareixeran. Per exemple, 12x + 0x + 6 passa a ser igual a 12x + 6 perquè 0x és igual a 0.