Com es calcula l’arrel cub manualment

Content

Passos
Part 1 de 3: Extracció de l'arrel cub amb un exemple senzill
Part 2 de 3: Estimació de l'arrel del cub
Part 3 de 3: Explicació del procés de càlcul descrit
Consells
Advertiments
Què necessites

Si teniu a mà una calculadora, podeu extreure fàcilment l’arrel cub de qualsevol número. Però si no teniu una calculadora o simplement voleu impressionar els altres, traieu manualment l’arrel cub. Per a la majoria de la gent, el procés descrit aquí semblarà bastant complicat, però amb la pràctica serà molt més fàcil extreure arrels cubes. Abans de començar a llegir aquest article, recordeu les operacions matemàtiques bàsiques i els càlculs amb números en un cub.

Passos

Part 1 de 3: Extracció de l'arrel cub amb un exemple senzill

1 Anoteu la tasca. L’extracció manual de l’arrel cub és similar a la divisió llarga, però amb alguns matisos. Primer, escriviu la tasca en un formulari específic.
- Escriviu el número del qual voleu extreure l'arrel cub. Divideix el número en grups de tres dígits i comença a comptar amb un punt decimal. Per exemple, heu d'extreure l'arrel cub de 10. Escriviu el número així: 10.000.000. S'utilitzen zeros addicionals per millorar la precisió del resultat.
- Dibuixeu un signe arrel al costat i a sobre del número. Imagineu-vos que són les línies horitzontals i verticals que dibuixeu en divisió llarga. L’única diferència és la forma dels dos personatges.
- Col·loqueu un punt decimal sobre la línia horitzontal. Feu-ho directament per sobre del punt decimal del número original.
2 Recordeu els resultats de cubar enters. S'utilitzaran en càlculs.
- ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
- ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
- ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
- ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
- ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
- ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
- ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
- ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
- ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
- ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3 Cerqueu el primer dígit de la resposta. Seleccioneu un cub enter que sigui el més proper però més petit que el primer grup de tres dígits.
- En el nostre exemple, el primer grup de tres dígits és 10. Trobeu el cub més gran que sigui inferior a 10. Aquest cub és 8 i l’arrel cub de 8 és 2.
- A sobre de la línia horitzontal sobre el número 10, escriviu el número 2. A continuació, escriviu el valor de l'operació ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 sota 10. Dibuixeu una línia i resteu 8 de 10 (com en la divisió llarga). El resultat és 2 (aquest és el primer romanent).
- Així, heu trobat el primer número de la resposta. Penseu en si el resultat donat és prou precís. En la majoria dels casos, aquesta serà una resposta molt aproximada. Reduïu el resultat per esbrinar fins a quin punt és proper al número original. En el nostre exemple: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, que no s’acosta molt a 10, de manera que cal continuar els càlculs.
4 Cerqueu el següent dígit de la resposta. Afegiu el segon grup de tres nombres al primer residu i dibuixeu una línia vertical a l'esquerra del número resultant. Utilitzant el número resultant, trobareu el segon dígit de la resposta. En el nostre exemple, s’ha d’afegir el segon grup de tres dígits (000) al primer resta (2) per obtenir el número 2000.
- A l’esquerra de la línia vertical, escriviu tres nombres, la suma dels quals és igual a algun primer factor. Deixeu espais buits per a aquests números i poseu signes més entre els dos.
5 Cerqueu el primer terme (de tres). Al primer espai en blanc, escriviu el resultat de multiplicar 300 pel quadrat del primer dígit de la resposta (està escrit a sobre del signe arrel). En el nostre exemple, el primer dígit de la resposta és 2, de manera que 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Escriviu 1200 al primer espai en blanc. El primer terme és 1200 (més dos números més per trobar).
6 Cerqueu el segon dígit de la resposta. Esbrineu quin número heu de multiplicar 1200 perquè el resultat sigui proper, però no superi el 2000. Aquest nombre només pot ser 1, ja que 2 * 1200 = 2400, que és més de 2000. Escriviu 1 (segon dígit de la resposta) després de 2 i la coma decimal a sobre del signe arrel.
7 Cerqueu el segon i el tercer terme (de tres). El factor consta de tres nombres (termes), el primer dels quals ja heu trobat (1200). Ara hem de trobar els dos termes restants.
- Multipliqueu 3 per 10 i per cada dígit de la resposta (s’escriuen a sobre del signe arrel). Al nostre exemple: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Afegiu aquest resultat a 1200 i obteniu 1260.
- Finalment, quadreu l’últim dígit de la vostra resposta. En el nostre exemple, l’últim dígit de la resposta és 1, de manera que 1 ^ 2 = 1. Per tant, el primer factor és la suma dels números següents: 1200 + 60 + 1 = 1261. Escriviu aquest número a l’esquerra de la barra vertical .
8 Multiplicar i restar. Multipliqueu l'últim dígit de la resposta (en el nostre exemple és 1) pel factor trobat (1261): 1 * 1261 = 1261. Escriviu aquest número per 2000 i resteu-lo del 2000. Obtindreu 739 (aquest és el segon resta).
9 Tingueu en compte si la resposta que heu rebut és prou precisa. Feu-ho cada vegada que completeu la resta. Després de la primera resta, la resposta va ser 2, que no és un resultat exacte. Després de la segona resta, la resposta és 2.1.
- Per comprovar l'exactitud de la resposta, reduïu-la: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
- Si creieu que la resposta és prou exacta, no haureu de continuar els càlculs; en cas contrari, feu una altra resta.
10 Trobeu el segon factor. Per practicar els càlculs i obtenir un resultat més precís, repetiu els passos anteriors.
- Afegiu el tercer grup de tres dígits (000) al segon resta (739). Obtindreu el número 739000.
- Multipliqueu 300 pel quadrat del número escrit sobre el signe arrel (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
- Cerqueu el tercer dígit de la resposta. Esbrineu quin número heu de multiplicar 132300 perquè el resultat sigui proper, però no superi 739000. Aquest nombre és 5: 5 * 132200 = 661500. Escriviu 5 (tercer dígit de la resposta) després de 1 a sobre del signe arrel.
- Multipliqueu 3 per 10 per 21 i per l’últim dígit de la resposta (s’escriuen a sobre del signe arrel). En el nostre exemple: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$ .
- Finalment, quadreu l’últim dígit de la vostra resposta. En el nostre exemple, l’últim dígit de la resposta és 5, per tant ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
- Així, el segon factor és: 132300 + 3150 + 25 = 135.475.
11 Multipliqueu l'últim dígit de la vostra resposta pel segon factor. Després de trobar el segon factor i el tercer dígit de la resposta, procediu de la següent manera:
- Multipliqueu l'últim dígit de la resposta pel factor trobat: 135475 * 5 = 677375.
- Restar: 739000 - 677375 = 61625.
- Tingueu en compte si la resposta que heu rebut és prou precisa. Per fer-ho, cubeu-lo: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ .
12 Escriviu la vostra resposta. El resultat escrit sobre el signe arrel és la resposta amb dos decimals. En el nostre exemple, l’arrel cub de 10 és 2,15. Comproveu la resposta cubant-la: 2,15 ^ 3 = 9,94, que és aproximadament 10. Si necessiteu més precisió, continueu el càlcul (tal com es descriu anteriorment).

Part 2 de 3: Estimació de l'arrel del cub

1 Utilitzeu cubs de números per determinar els límits superior i inferior. Si necessiteu extreure l'arrel cubica de gairebé qualsevol número, busqueu cubs (alguns números) que siguin propers al nombre donat.
- Per exemple, cal extreure l'arrel cub de 600. Des de ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ i ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$ , llavors l'arrel cub de 600 oscil·la entre 8 i 9. Per tant, utilitzeu 512 i 729 com a límits superior i inferior de la vostra resposta.
2 Calculeu el segon número. Heu trobat el primer número gràcies al vostre coneixement dels cubs de nombres enters. Ara converteix un enter en una fracció decimal assignant-li (després del punt decimal) una xifra del 0 al 9. Cal trobar una fracció decimal, el cub del qual estigui proper, però inferior al nombre original.
- Al nostre exemple, el número 600 oscil·la entre 512 i 729. Per exemple, al primer número trobat (8), afegiu el número 5. Obteniu el número 8.5.
3 Calculeu el nombre resultant construint-lo en un cub. Feu això per comprovar que el cub està a prop però no més gran que el número original.
- En el nostre exemple: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4 Avalueu un nombre diferent si cal. Compareu el cub del número resultant amb el número original. Si el cub del número resultant és més gran que el nombre original, proveu d’avaluar un nombre inferior. Si el cub del nombre resultant és molt més petit que el nombre original, avalueu els números grans fins que el cub d’un d’ells excedeixi el nombre original.
- En el nostre exemple: ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Per tant, estimeu el nombre més petit 8.4. Cubiqueu aquest número i compareu-lo amb el número original: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$ ... Aquest resultat és inferior al nombre original. Per tant, l’arrel cub de 600 oscil·la entre 8,4 i 8,5.
5 Avalueu el número següent per millorar la precisió de la vostra resposta. Per a cada número que hàgiu puntuat com a darrer, afegiu un número del 0 al 9 fins que obtingueu la resposta exacta. En cada ronda d’avaluació, heu de trobar els límits superior i inferior entre els quals es troba el número original.
- En el nostre exemple: ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592,7}$ i ${ displaystyle 8.5 ^ {3} = 614.1}$ ... El número original 600 és més proper al 592 que al 614. Per tant, a l'últim número que heu estimat, afegiu un dígit més proper al 0 que al 9. Per exemple, aquest número és 4. Per tant, reduïu el número 8.44.
6 Avalueu un nombre diferent si cal. Compareu el cub del número resultant amb el número original. Si el cub del número resultant és més gran que el nombre original, proveu d’avaluar un nombre inferior. En resum, heu de trobar dos números els cubs dels quals siguin una mica més grans i una mica més petits que el nombre original.
- En el nostre exemple ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ ... Aquest és una mica més gran que el nombre original, així que avalueu-ne un altre (més petit), per exemple 8.43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$ ... Per tant, l’arrel cub de 600 oscil·la entre 8,43 i 8,44.
7 Seguiu aquest procés fins que obtingueu una resposta que us sigui satisfactòria. Avalueu el número següent, compareu-lo amb l'original, avalueu-ne un altre si cal, etc. Tingueu en compte que cada dígit addicional després del punt decimal augmenta la precisió de la resposta.
- En el nostre exemple, el cub del número 8.43 és inferior al nombre original per menys de 1. Si necessiteu més precisió, cubreu el número 8.434 i obteniu-lo ${ displaystyle 8,434 ^ {3} = 599,93}$ , és a dir, el resultat és inferior a 0,1 menys que el nombre original.

Part 3 de 3: Explicació del procés de càlcul descrit

1 Recordeu la sèrie binomial. Una sèrie binomial és el resultat d’elevar un binomi (binomi) a una potència determinada, en aquest cas a un cub. Per entendre l’algoritme d’extracció d’arrel cub que es descriu aquí, primer recordeu com un binomi és cub. El més probable és que ho hàgiu après a l’escola (i probablement aviat ho oblideu, com ho fa la majoria de la gent). Les variables A{ displaystyle A} i B{ displaystyle B} marqueu alguns dígits. Aleshores, el número de dues xifres es pot escriure com a binomi (10A+B){ displaystyle (10A + B)}.
- Aquí el membre ${ displaystyle 10A}$ representa el lloc de les desenes, és a dir, si ${ displaystyle A}$ Hi ha, doncs, un número d'un sol dígit ${ displaystyle 10A}$ - aquest ja és el número de dos dígits corresponent. Per exemple, si ${ displaystyle A}$ = 2, i ${ displaystyle B}$ = 6, doncs ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26, és a dir, teniu un número 26 de dues xifres.
2 Cubeu el binomi. Feu-ho per entendre el procés d’extracció de l’arrel cub que es descriu a la primera secció. Calcular (10A+B)3{ displaystyle (10A + B) ^ {3}} = (10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)} = 1000A3+300A2B+30AB2+B3{ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}} (aquí hem omès diverses etapes de construcció de cubs, per no desordenar l'article amb càlculs).
- Podeu trobar una explicació detallada aquí.
3 Comprendre l'algorisme de divisió llarga. Tingueu en compte que el mètode d’arrel cub que es descriu aquí és molt similar a la divisió llarga. Quan es divideix en una columna, ha de trobar el nombre (quocient), quan es multiplica pel divisor, s’obté el dividend. En el mètode descrit, s'utilitza el resultat de l'extracció de l'arrel cub (s'escriu damunt del signe arrel) com a quocient. És a dir, el resultat de l'extracció de l'arrel cub es pot representar com un binomi (10A + B). Els valors exactes d’A i B no són importants en aquesta etapa: recordeu que el resultat es pot escriure com a binomi.
4 Mireu el rang binomi. És la suma de quatre monomis, gràcies als quals podeu entendre el principi de funcionament de l'algorisme d'extracció de l'arrel cub. Tingueu en compte que el multiplicador de cada pas d’extracció de l’arrel és igual a la suma dels quatre termes que cal calcular i afegir.
- El factor del primer terme és 1000. Per calcular el primer dígit de la resposta, primer trobareu el cub d’un enter més proper però inferior a un nombre determinat (és a dir, el primer grup de tres dígits). Això defineix el membre 1000A ^ 3 de la sèrie binomial.
- El multiplicador del segon terme de la sèrie binomial és el número 300 ( ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Recordem que en cada etapa de l’extracció de l’arrel cub, els dígits corresponents de la resposta es van multiplicar per 300.
- El segon terme en cada etapa de l'extracció d'arrels està determinat pel tercer terme de la sèrie binomial, que és igual a 30AB ^ 2.
- El tercer terme en cada etapa de l'extracció d'arrels està determinat pel quart terme de la sèrie binomial, que és igual a B ^ 3.
5 Tingueu en compte l’increment de la precisió de la resposta. Com més fases d’extracció d’arrels passis, més precisa serà la resposta. Per exemple, en aquest article calia extreure l'arrel cub de 10. A la primera fase, la resposta és 2, ja que ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, que és proper, però inferior a 10. En la segona fase, la resposta és 2.1, perquè ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$ , que és molt més a prop de 10. A la tercera etapa, la resposta és 2,15, ja que ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ ... Podeu continuar el càlcul mitjançant grups de tres dígits per millorar la precisió de la vostra resposta.