Content

• Passos
• Mètode 1 de 3: Com trobar el costat desconegut
• Mètode 2 de 3: trobar un angle desconegut
• Mètode 3 de 3: problemes de mostra
• Consells

El teorema del cosinus s’utilitza àmpliament en trigonometria. S'utilitza quan es treballa amb triangles irregulars per trobar quantitats desconegudes com ara costats i angles. El teorema és similar al teorema de Pitàgores i és bastant fàcil de recordar. El teorema del cosinus ho diu en qualsevol triangle ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Passos

Mètode 1 de 3: Com trobar el costat desconegut

1. 1 Escriviu els valors coneguts. Per trobar el costat desconegut d’un triangle, cal conèixer els altres dos costats i l’angle entre ells.
   • Per exemple, donat un triangle XYZ. El costat YX fa 5 cm, el costat YZ és de 9 cm i l’angle Y és de 89 °. Què és el costat XZ?
2. 2 Anoteu la fórmula del teorema del cosinus. Fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, on ${ displaystyle c}$ - festa desconeguda, ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus de l'angle oposat al costat desconegut, ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$ - dos costats coneguts.
3. 3 Connecteu els valors coneguts a la fórmula. Les variables ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$ denoten dos costats coneguts. Variable ${ displaystyle C}$ és l'angle conegut que es troba entre els costats ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$.
   • En el nostre exemple, es desconeix el costat XZ, de manera que a la fórmula es denota com ${ displaystyle c}$... Com que es coneixen els costats YX i YZ, es denoten per les variables ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$... Variable ${ displaystyle C}$ és l’angle Y. Per tant, la fórmula s’escriurà de la següent manera: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Troba el cosinus d’un angle conegut. Feu-ho amb una calculadora. Introduïu un valor d'angle i feu clic a ${ displaystyle COS}$... Si no teniu una calculadora científica, trobeu una taula de cosinus en línia, per exemple, aquí. També a Yandex, podeu introduir "cosinus de X graus" (substituïu el valor de l'angle per X) i el motor de cerca mostrarà el cosinus de l'angle.
   • Per exemple, el cosinus és 89 ° ≈ 0,01745. Tan: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Multiplicar els números. Multiplicar ${ displaystyle 2ab}$ pel cosinus d’un angle conegut.
   • Per exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Plega els quadrats dels costats coneguts. Recordeu que per quadrar un nombre s’ha de multiplicar per si mateix. Primer, quadreu els números corresponents i, a continuació, afegiu els valors resultants.
   • Per exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Resteu dos nombres. Trobareu ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Per exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Agafeu l'arrel quadrada d'aquest valor. Per fer-ho, utilitzeu una calculadora. Així es troba el costat desconegut.
   • Per exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Per tant, el costat desconegut fa 10.2191 cm.

Mètode 2 de 3: trobar un angle desconegut

1. 1 Escriviu els valors coneguts. Per trobar l’angle desconegut d’un triangle, heu de conèixer els tres costats del triangle.
   • Per exemple, donat un triangle RST. CP lateral = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Cerqueu el valor de l’angle S.
2. 2 Anoteu la fórmula del teorema del cosinus. Fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, on ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus d'un angle desconegut, ${ displaystyle c}$ - un costat conegut oposat a un racó desconegut, ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$ - altres dues festes famoses.
3. 3 Cerqueu els valors a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} i c{ displaystyle c}. A continuació, connecteu-los a la fórmula.
   • Per exemple, el costat RT és oposat a l'angle desconegut S, de manera que el costat RT és ${ displaystyle c}$ a la fórmula. Altres parts ho faran ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$... Per tant, la fórmula s’escriurà de la següent manera: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Multiplicar els números. Multiplicar ${ displaystyle 2ab}$ pel cosinus de l’angle desconegut.
   • Per exemple, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Erecte c{ displaystyle c} en una plaça. És a dir, multipliqueu el nombre en si.
   • Per exemple, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Plega els quadrats a{ displaystyle a} i b{ displaystyle b}. Però primer, quadreu els números corresponents.
   • Per exemple:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Aïlla el cosinus de l’angle desconegut. Per fer-ho, resteu la quantitat ${ displaystyle a ^ {2}}$ i ${ displaystyle b ^ {2}}$ des dels dos costats de l’equació. A continuació, divideix cada costat de l’equació pel factor del cosinus de l’angle desconegut.
   • Per exemple, per aïllar el cosinus d'un angle desconegut, resteu 164 d'ambdós costats de l'equació i, a continuació, dividiu cada costat per -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Calculeu el cosinus invers. Es trobarà el valor de l’angle desconegut. A la calculadora, es denota la funció de cosinus invers ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Per exemple, l’arcosina de 0,0125 és 82,8192. Per tant, l’angle S és de 82,8192 °.

Mètode 3 de 3: problemes de mostra

1. 1 Cerqueu el costat desconegut del triangle. Els costats coneguts són de 20 cm i 17 cm i l’angle entre ells és de 68 °.
   • Com que se us indiquen dos costats i l'angle entre ells, podeu utilitzar el teorema del cosinus. Anoteu la fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • El costat desconegut és ${ displaystyle c}$... Connecteu els valors coneguts a la fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Calcular ${ displaystyle c ^ {2}}$, observant l'ordre de les operacions matemàtiques:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434,2675}$
   • Agafeu l’arrel quadrada dels dos costats de l’equació. Així es troba el costat desconegut:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Per tant, el costat desconegut fa 20,8391 cm.
2. 2 Trobeu l’angle H al triangle GHI. Els dos costats adjacents a la cantonada H fan 22 i 16 cm. El costat oposat a la cantonada H fa 13 cm.
   • Com que es donen els tres costats, es pot utilitzar el teorema del cosinus. Anoteu la fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • El costat oposat al racó desconegut és ${ displaystyle c}$... Connecteu els valors coneguts a la fórmula: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Simplifiqueu l'expressió resultant:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Aïlla el cosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Troba el cosinus invers. Així es calcula l’angle desconegut:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Per tant, l’angle H és de 35,7985 °.
3. 3 Cerqueu la longitud del sender. Els camins del riu, de les muntanyes i del pantà formen un triangle. La longitud de la ruta del riu és de 3 km, la longitud del camí de muntanya és de 5 km; aquestes pistes es creuen entre si amb un angle de 135 °. La pista del pantà connecta els dos extrems de la resta de senders. Cerqueu la longitud del Swamp Trail.
   • Les pistes formen un triangle. Cal trobar la longitud del camí desconegut, que és el costat del triangle. Com que es donen les longituds dels altres dos camins i l'angle entre ells, es pot utilitzar el teorema del cosinus.
   • Anoteu la fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • El camí desconegut (Pantà) es denotarà com a ${ displaystyle c}$... Connecteu els valors coneguts a la fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Calcular ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Agafeu l’arrel quadrada dels dos costats de l’equació. Així es troba la longitud del camí desconegut:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Per tant, la longitud del Swamp Trail és de 7.4306 km.

Consells

• És més fàcil utilitzar el teorema del sinus. Per tant, primer esbrineu si es pot aplicar al problema donat.