Content

• Per trepitjar
• Primera part de 3: entendre que "compartir" és impossible
• Part 2 de 3: Invertir la matriu
• Part 3 de 3: Multiplicar les matrius per completar el problema
• Consells
• Advertiments

Si sabeu multiplicar dues matrius, esteu ben encaminats a poder "dividir" una matriu per una altra matriu. Compartir és entre cometes perquè les matrius no es poden compartir tècnicament. En el seu lloc, multiplicem la matriu per la invers d'una altra matriu. Aquests càlculs s’utilitzen sovint per resoldre sistemes d’equacions lineals.

Per trepitjar

Primera part de 3: entendre que "compartir" és impossible

1. Comprendre què és una "divisió" d'una matriu. Tècnicament, no hi ha una divisió matricial. Compartir matrius no és una funció definida. El més proper és multiplicar-se per la inversa d’una altra matriu. En altres paraules, encara que [A] ÷ [B] no està definit, podeu resoldre el problema [A] * [B]. Com que aquestes dues equacions són equivalents a escalars, això "se sent" com una divisió matricial, però és important utilitzar la terminologia correcta.
   • Tingueu en compte que [A] * [B] i [B] * [A] no són el mateix problema. És possible que hagueu de resoldre tots dos per trobar totes les respostes possibles.
   • Per exemple, en lloc de ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Comproveu que la "matriu divisora" sigui quadrada. Per poder determinar la inversa d’una matriu, ha de ser una matriu quadrada, per tant, amb el mateix nombre de files i columnes. Si la matriu que voleu invertir no és una matriu quadrada, no hi ha una solució única al problema.
     • El terme "matriu divisora" és una mica fluix, perquè en realitat no és un subproblema. Per a [A] * [B], es refereix a la matriu [B]. En el nostre exemple, això és ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Comproveu si les dues matrius es poden multiplicar juntes. Per poder multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona matriu. Si això no funciona en ambdós casos ([A] * [B] o [B] * [A]), no hi ha cap solució al problema.
       • Per exemple, si [A] és una matriu de 4 x 3 (4 files, 3 columnes) i [B] una matriu de 2 x 2 (2 files, 2 columnes), llavors no hi ha solució. [A] * [B] no funciona perquè 3 ≠ 2 i [B] * [A] no funciona perquè 2 ≠ 4.
       • Sabeu que la inversa [B] sempre té el mateix nombre de files i columnes que la matriu original [B]. No cal calcular la inversa per completar aquest pas.
       • En el nostre problema d'exemple, ambdues matrius són 2x2, de manera que es poden multiplicar en qualsevol ordre.
     • Trobeu el determinant d’una matriu de 2 x 2. Hi ha una altra comprovació obligatòria abans de poder determinar la inversa d’una matriu. El determinant de la matriu no pot ser zero. Si el determinant és zero, la matriu no té cap invers. A continuació s’explica com es determina el determinant en el cas més simple (la matriu 2 x 2):
       • Matriu 2 x 2: el determinant de la matriu ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$Trobeu el determinant d’una matriu més gran. Si la vostra matriu és de 3 x 3 o més, caldrà treballar més per determinar el determinant:
         • Matriu 3 x 3: Trieu un element i creueu la fila i la columna a què pertany. Cerqueu el determinant de la matriu restant de 2 x 2, multipliqueu per l'element triat i mantingueu una taula de caràcters de matriu per determinar el caràcter. Repetiu els altres dos elements de la mateixa fila i columna que el primer que heu triat i, a continuació, afegiu els tres determinants. Llegiu aquest article per obtenir instruccions pas a pas i consells sobre com fer-ho més ràpidament.
         • Matrius més grans: Es recomana l'ús d'una calculadora gràfica o programari. El mètode és el mateix que per a una matriu de 3 x 3, però es necessita molt de temps si es fa això a mà. Per exemple, per trobar el determinant d’una matriu de 4 x 4, primer heu de trobar els determinants de quatre matrius de 3 x 3.
       • Continua. Si la vostra matriu no és un quadrat o el seu determinant és zero, escriviu-la com a "no és una solució única". El problema s'ha completat. Si la matriu és un quadrat i el seu determinant no és zero, continueu amb la part següent per al següent pas: determinar la inversa.

Part 2 de 3: Invertir la matriu

1. Intercanvieu les posicions dels elements de la diagonal principal de 2 x 2. Si teniu una matriu de 2 x 2, podeu fer servir una drecera per fer aquest càlcul molt més fàcil. El primer pas d’aquesta solució ràpida és canviar l’element superior esquerre amb l’element inferior dret. Per exemple:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Agafeu el contrari dels altres dos elements, però deixeu-los en aquesta posició. En altres paraules, multipliqueu la part superior jutge i inferior a l'esquerraelements amb -1:
     • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$Pren el recíproc del determinant. El determinant d’aquesta matriu l’heu trobat a la secció anterior, de manera que no cal tornar a calcular-la. Només cal que escriviu el recíproc de 1 / (determinant):
       • En el nostre exemple, el determinant és 13. El recíproc d'això és ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$Multiplicar la nova matriu per la recíproca del determinant. Multipliqueu cada element de la nova matriu pel recíproc que acabeu de trobar. La matriu resultant és la inversa de la matriu 2 × 2:
         • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$Confirmeu que la inversa és correcta. Per comprovar el vostre treball, multipliqueu la inversa per la matriu original. Si la inversa és correcta, el seu producte és sempre la identitat de la matriu, ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$Trobeu la inversió matricial d’una matriu de 3 x 3 o superior. Si no sou nou en aquest procés, podeu estalviar-vos molt de temps utilitzant una calculadora gràfica o un programari matemàtic amb matrius més grans. Si l’heu de calcular a mà, aquí teniu un resum ràpid d’un mètode que podeu utilitzar:
           • Afegiu la matriu d'identitat I al costat dret de la vostra matriu. Per exemple, [B] → [B | Jo]. La matriu d'identitat té elements "1" al llarg de la diagonal principal i elements "0" a la resta de posicions.
           • Feu modificacions de files per reduir la matriu fins que el costat esquerre estigui en forma d’escala de fila i continueu reduint fins que el costat esquerre sigui la matriu d’identitat.
           • Quan es completi tota l'operació, la vostra matriu es mostrarà en el formulari [I | B]. En altres paraules, el costat dret serà l'invers de la matriu original.

Part 3 de 3: Multiplicar les matrius per completar el problema

1. Anoteu les dues equacions possibles. En "matemàtiques comunes" amb escalars, la multiplicació és commutativa; 2 x 6 = 6 x 2. Això no s'aplica a les matrius, de manera que és possible que hagueu de resoldre dos problemes:
   • [A] * [B] és la solució X per problema X[B] = [A].
   • [B] * [A] és la solució X pel problema [B]X = [A].
   • Si això forma part d'una equació, assegureu-vos que apliqueu la mateixa operació als dos costats de l'equació. Si [A] = [C], llavors [B] és [A] no Igual que [C] [B], perquè [B] es troba a l’esquerra de [A], però a la dreta de [C].
2. Determineu les dimensions de la vostra resposta. Les dimensions de la matriu final són les dimensions externes dels dos factors. Té el mateix nombre de files que la primera matriu i el mateix nombre de columnes que la segona matriu.
   • Tornant a l'exemple original: tots dos ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 i 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$Determineu el valor del primer element. Consulteu l'article enllaçat per obtenir instruccions detallades o actualitzeu els vostres coneixements amb aquest resum:
     • Per trobar la fila 1, columna 1 de [A] [B], cerqueu el producte punt de la columna 1. [A] fila 1 i [B]. Per tant, per a una matriu de 2 x 2, calculeu ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$Calculeu el producte punt per a cada posició de la vostra matriu. Per exemple, l'element de la posició 2,1 és el producte punt de les columnes [A] fila 2 i [B] 1. Intenteu elaborar l'exemple vosaltres mateixos. Hauríeu d'obtenir les respostes següents:
       • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 i 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
       • I l’altra solució: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 final {pmatrix}}}$

Consells

• Podeu dividir una matriu per un escalar dividint cada element de la matriu per l’escalar.
  • Per exemple, la matriu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ dividit per 2 = ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 i 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Advertiments

• Les calculadores no sempre són exactes al 100% en els càlculs de matriu. Per exemple, si la calculadora indica que un element té un valor molt petit (per exemple, 2E), és probable que el valor sigui zero.