Content

• Per trepitjar
• Mètode 1 de 3: determineu l'àrea utilitzant els laterals i l'apotema
• Mètode 2 de 3: Determinació de l'àrea mitjançant la longitud d'un costat
• Mètode 3 de 3: utilitzar una fórmula
• Consells

Un pentàgon és un polígon amb cinc costats rectes. Gairebé tots els problemes que trobareu a la classe de matemàtiques implicaran pentàgons regulars, amb cinc costats iguals. Hi ha dues maneres comunes de calcular l'àrea, en funció de la quantitat d'informació que tingueu.

Per trepitjar

Mètode 1 de 3: determineu l'àrea utilitzant els laterals i l'apotema

1. Comenceu per la longitud del costat i l'apotema. Aquest mètode funciona per a pentàgons regulars, amb cinc costats iguals. A més de la longitud del costat, cal l '"apotema" del pentàgon. L'apotema és la línia del centre del pentàgon a un costat que talla el costat perpendicularment (és a dir, amb un angle de 90º).
   • No confongueu l’apotema amb el radi d’un polígon, perquè talla un angle (vèrtex) en lloc d’un punt al centre del costat. Si només coneixeu la longitud d'un costat i el radi, passeu al mètode següent.
   • Utilitzem un pentàgon amb el costat com a exemple 3 i apotema 2.
2. Dividiu el pentàgon en cinc triangles. Dibuixeu cinc línies des del centre del pentàgon, cadascuna que condueix a un vèrtex (cantonada). Ara teniu cinc triangles.
3. Calculeu l’àrea d’un triangle. Cada triangle en té un base igual al costat del pentàgon. També en té una alçada que és igual a l'apotema. (Recordeu, l’alçada d’un triangle és la longitud del costat que és perpendicular a la base i que corre cap a un vèrtex). Per calcular l'àrea d'un triangle, utilitzeu ½ x base x alçada.
   • En el nostre exemple, l'àrea del triangle és = ½ x 3 x 2 =3.
4. Multiplicar per cinc per la superfície total del pentàgon. Hem dividit el pentàgon en cinc triangles iguals. Per calcular l’àrea total, multipliqueu l’àrea d’un triangle per cinc.
   • En el nostre exemple, A (total del pentàgon) = 5 x A (triangle) = 5 x 3 =15.

Mètode 2 de 3: Determinació de l'àrea mitjançant la longitud d'un costat

1. Comenceu per la longitud d’un costat. Aquest mètode només funciona per a pentàgons regulars, que tenen cinc costats d’igual longitud.
   • En aquest exemple utilitzarem un pentàgon de longitud 7 per cada costat.
2. Dividiu el pentàgon en cinc triangles. Dibuixeu una línia des del centre del pentàgon fins a un vèrtex. Repetiu-ho per a cada vèrtex. Ara teniu cinc triangles, cadascun de la mateixa mida.
3. Dividiu un triangle per la meitat. Dibuixeu una línia des del centre del pentàgon fins a la base d’un triangle. Aquesta línia hauria de tallar la base en un angle recte (90º), que divideixi el triangle en dos triangles iguals i més petits.
4. Etiqueta un dels triangles més petits. Ja podem etiquetar un costat i un angle del triangle més petit:
   • El base del triangle és ½ vegades el costat del pentàgon. En el nostre exemple, això és ½ x 7 = 3,5 unitats.
   • El angle al centre del pentàgon sempre hi ha 36º. (Suposant 360º per a un cercle complet, podeu dividir-lo en 10 triangles més petits. 360 ÷ 10 = 36, de manera que l'angle d'aquest triangle és de 36º).
5. Calculeu l’alçada del triangle. El alçada el costat d’aquest triangle és perpendicular al costat del pentàgon que condueix al centre. Utilitzem trigonometria simple per determinar la longitud d’aquest costat:
   • En un triangle rectangle, el tangent d’un angle igual a la longitud del costat oposat dividit per la longitud del costat adjacent.
   • El costat oposat a l'angle de 36º és la base del triangle (la meitat del costat del pentàgon). El costat adjacent de l'angle de 36º és l'altura del triangle.
   • tan (36º) = oposat / adjacent
   • En el nostre exemple, tan (36º) = 3,5 / alçada
   • alçada x marró (36º) = 3,5
   • alçada = 3,5 / marró (36º)
   • altura = (aproximadament) 4,8 .
6. Calculeu l’àrea del triangle. L’àrea d’un triangle és igual a ½ base x la seva alçada. (A = ½ bh.) Ara que ja coneixeu l'alçada, introduïu aquests valors per determinar l'alçada del vostre petit triangle.
   • En el nostre exemple, l'àrea d'un dels petits triangles = ½ bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4.
7. Multiplicar per trobar l’àrea del pentàgon. Un d’aquests triangles més petits cobreix 1/10 de l’àrea del pentàgon. Per a l'àrea total, multipliqueu l'àrea del triangle més petit per 10.
   • En el nostre exemple, l’àrea de tot el pentàgon és = 8,4 x 10 =84.

Mètode 3 de 3: utilitzar una fórmula

1. Utilitzeu l'esquema i l'apotema. L’apotema és una línia del centre d’un pentàgon que talla un costat en angle recte. Si es dóna la longitud, podeu utilitzar aquesta fórmula senzilla.
   • Àrea d'un pentàgon regular =pare / 2, on pàg= la circumferència i a= l'apotema.
   • Si no coneixeu la circumferència, calculeu-la utilitzant la longitud del costat: p = 5s, on s és la longitud del costat.
2. Utilitzeu la longitud del costat. Si només coneixeu la longitud dels costats, utilitzeu la fórmula següent:
   • Àrea d’un pentàgon regular = (5s ) / (4tan (36º)), on s= longitud d’un costat.
   • tan (36º) = √ (5-2√5). Si la calculadora no té una funció marró, utilitzeu la fórmula de l'àrea: Àrea = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Trieu una fórmula que només utilitzi el radi. Fins i tot podeu trobar la zona si només coneixeu el radi. Utilitzeu la fórmula següent:
   • L'àrea d'un pentàgon regular = (5/2)rsin (72º), on r el radi és.

Consells

• Els pentàgons irregulars o els pentàgons amb costats desiguals són més difícils d’estudiar. El millor mètode sol ser dividir el pentàgon en triangles i afegir les àrees de tots els triangles. És possible que també hàgiu de dibuixar una forma més gran al voltant del pentàgon, calcular-ne l’àrea i restar l’àrea de l’espai extra.
• Si és possible, utilitzeu tant un mètode geomètric com una fórmula i compareu els resultats per comprovar la vostra resposta. Les respostes poden ser lleugerament diferents si empleneu la fórmula completament alhora (perquè falten els passos en què heu acabat), però haurien d’estar molt a prop l’una de l’altra.
• Els exemples que es donen aquí utilitzen valors arrodonits per facilitar les seves matemàtiques. Si teniu un veritable polígon amb les longituds laterals donades, obtindreu resultats lleugerament diferents per a les altres longituds i l'àrea.
• Les fórmules es deriven de mètodes geomètrics, similars als descrits aquí. Intenta esbrinar com deduir-los tu mateix. La fórmula del radi és més difícil de derivar que les altres (suggeriment: necessiteu la identitat de doble angle).