Content

• Passos
• Part 1 de 2: Els fonaments
• Part 2 de 2: Transformació de matriu ampliada per resoldre SLAEs
• Consells

Un sistema d’equacions és un conjunt de dues o més equacions que tenen un conjunt comú d’incògnites i, per tant, una solució comuna. La gràfica del sistema d’equacions lineals és de dues rectes i la solució del sistema és el punt d’intersecció d’aquestes rectes. Per resoldre aquests sistemes d’equacions lineals, és útil i convenient utilitzar matrius.

Passos

Part 1 de 2: Els fonaments

1. 1 Terminologia. Els sistemes d’equacions lineals es componen de diversos components. Una variable es denota amb un caràcter alfabètic (normalment x o y) i significa un número que encara no coneixeu i que heu de trobar. Una constant és un nombre determinat que no canvia el seu valor.El coeficient és el nombre situat davant de la variable, és a dir, el nombre pel qual es multiplica la variable.
   • Per exemple, per a una equació lineal, 2x + 4y = 8, x i y són variables, 8 és constant i els números 2 i 4 són coeficients.
2. 2 Forma per a un sistema d’equacions lineals. Es pot escriure un sistema d’equacions algebraiques lineals (SLAE) amb dues variables de la següent manera: ax + by = p, cx + dy = q. Totes les constants (p, q) poden ser zero, però cadascuna de les equacions ha de contenir almenys una variable (x, y).
3. 3 Expressions matricials. Qualsevol SLAE es pot escriure en forma de matriu i, tot seguit, mitjançant les propietats algebraiques de les matrius, el resolem. Quan s’escriu un sistema d’equacions en forma matricial, A representa els coeficients de la matriu, C representa matrius constants i X denota una matriu desconeguda.
   • Per exemple, l'SLAE anterior es pot reescriure en la forma matricial següent: A x X = C.
4. 4 Matriu expandida. La matriu ampliada s’obté transferint la matriu de termes lliures (constants) al costat esquerre. Si teniu dues matrius, A i C, la matriu expandida serà així:
   • Per exemple, per al sistema d’equacions lineals següent:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     La matriu expandida serà de 2x3 i té aquest aspecte:

Part 2 de 2: Transformació de matriu ampliada per resoldre SLAEs

1. 1 Operacions elementals. Podeu realitzar determinades operacions en una matriu, obtenint així una matriu equivalent a l'original. Aquestes operacions s’anomenen elementals. Per exemple, per resoldre una matriu de 2x3, heu de realitzar operacions de fila per portar la matriu a una forma triangular. Aquestes operacions poden ser:
   • permutació de dues línies.
   • multiplicant una cadena per un nombre diferent de zero.
   • multiplicant una cadena i afegint-la a una altra.
2. 2 Multiplicació de la segona línia per un nombre diferent de zero. Si voleu zero a la segona línia, podeu multiplicar la línia per fer-ho possible.
   • Per exemple, si teniu una matriu com aquesta:
     
     
     Podeu mantenir la primera línia i utilitzar-la per obtenir zero a la segona línia. Per fer-ho, primer heu de multiplicar la segona línia per 2:
3. 3 Multiplicar de nou. Per obtenir zero per a la primera fila, és possible que hàgiu de tornar a multiplicar-vos amb manipulacions similars.
   • A l'exemple anterior, heu de multiplicar la segona línia per -1:
     
     
     Després de la multiplicació, la matriu tindrà el següent aspecte:
4. 4 Afegiu la primera línia a la segona. Afegiu les files per obtenir un zero en lloc de la primera columna i la segona fila.
   • Al nostre exemple, afegiu les dues línies per obtenir el següent:
5. 5 Escriviu un nou sistema d’equacions lineals per a una matriu triangular. Un cop tingueu la matriu triangular, podeu tornar a SLAE. La primera columna de la matriu correspon a la variable desconeguda x, i la segona correspon a la variable desconeguda y. La tercera columna correspon a la intercepció de l’equació.
   • Per al nostre exemple, el nou sistema d’equacions lineals prendrà la forma següent:
6. 6 Resol l’equació d’una de les variables. Al nou SLAE, determineu quina variable és més fàcil de trobar i resoldre l’equació.
   • En el nostre exemple, és més convenient resoldre des del final, és a dir, des de la darrera equació fins a la primera, movent-se de baix a dalt. A partir de la segona equació, podem trobar fàcilment una solució per a y, ja que ens vam desfer de x, de manera que y = 2.
7. 7 Cerqueu la segona incògnita per mètode de substitució. Un cop trobada una de les variables, podeu connectar-la a la segona equació per trobar la segona variable.
   • En el nostre exemple, només cal substituir y per 2 a la primera equació per trobar la x desconeguda:

Consells

• Els elements matricials s’anomenen habitualment escalars.
• Per resoldre una matriu de 2x3, heu de realitzar operacions de fila elementals. No podeu realitzar aquestes operacions a les columnes.