Content

• Passos
• Part 1 de 3: Comprendre els quadrats de nombres i les arrels quadrades
• Part 2 de 3: Ús de l'algorisme de divisió llarga
• Part 3 de 3: Comptar quadres incomplets ràpidament
• Consells

Tot i que l’aspecte intimidatori del símbol d’arrel quadrada pot fer que algú que no és bo en matemàtiques esgarrifi, els problemes d’arrel quadrada no són tan difícils com podrien semblar inicialment. Els problemes simples d’arrel quadrada sovint es poden resoldre amb la mateixa facilitat que els problemes habituals de multiplicació o divisió. D'altra banda, les tasques més complexes poden requerir cert esforç, però amb un enfocament adequat, fins i tot no us seran difícils. Comenceu a resoldre arrels avui mateix per aprendre aquesta habilitat matemàtica radicalment nova.

Passos

Part 1 de 3: Comprendre els quadrats de nombres i les arrels quadrades

1. 1 Quadra el nombre multiplicant-lo per si mateix. Per entendre les arrels quadrades, és millor començar pel quadrat dels nombres. El quadrat de nombres és bastant senzill: quadrar un número significa multiplicar-lo per si mateix. Per exemple, 3 al quadrat és el mateix que 3 × 3 = 9 i el 9 al quadrat és el mateix que 9 × 9 = 81. Els quadrats es marquen escrivint el número petit “2” a la dreta per sobre del número quadrat. Exemple: 3, 9, 100, etc.
   • Proveu de quadrar alguns números més per provar aquest concepte. Recordeu, al quadrat d’un número, s’ha de multiplicar per si mateix. Això es pot fer fins i tot per a nombres negatius. En aquest cas, el resultat sempre serà positiu. Per exemple: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Quan es tracta d’arrels quadrades, el procés es reverteix a la quadratura. El símbol arrel (√, també anomenat radical) significa essencialment el contrari del símbol. Quan veieu un radical, us heu de preguntar: "Quin nombre es pot multiplicar per si mateix per obtenir el número sota l'arrel?" Per exemple, si veieu √ (9), haureu de trobar un número que, al quadrat, donaria el número nou. En el nostre cas, aquest nombre seria tres, perquè 3 = 9.
   • Penseu en un altre exemple i trobeu l'arrel de 25 (√ (25)). Això vol dir que hem de trobar un nombre que ens doni 25 al quadrat. Com que 5 = 5 × 5 = 25, podem dir que √ (25) = 5.
   • També podeu pensar en això com "desfer" el quadrat. Per exemple, si hem de trobar √ (64), l'arrel quadrada de 64, pensem en aquest número com 8. Com que el símbol de l'arrel "cancel·la" el quadrat, podem dir que √ (64) = √ (8 ) = 8.
3. 3 Conegueu la diferència entre el quadrat perfecte i el no perfecte. Fins ara, les respostes als nostres problemes amb l’arrel han estat bones i rodones, però no sempre és així. Les respostes als problemes d’arrel quadrada poden ser nombres decimals molt llargs i incòmodes. Els números l’arrel dels quals són nombres enters (és a dir, nombres que no són fraccions) s’anomenen quadrats perfectes. Tots els exemples anteriors (9, 25 i 64) són quadrats perfectes perquè la seva arrel serà un nombre enter (3.5 i 8).
   • D’altra banda, els números que, quan es porten a l’arrel, no donen un nombre enter, s’anomenen quadrats incomplets. Si col·loqueu un d’aquests números a l’arrel, obteniu un número amb una fracció decimal. De vegades, aquest nombre pot ser força llarg. Per exemple, √ (13) = 3.605551275464 ...
4. 4 Memoritza els primers 1-12 quadrats complets. Com probablement ja heu notat, trobar l’arrel d’un quadrat complet és bastant fàcil. Com que aquestes tasques són tan fàcils, convé recordar les arrels de la primera dotzena de quadrats complets. Trobareu aquestes xifres més d’una vegada, així que preneu-vos una mica de temps per memoritzar-les aviat i estalvieu temps en el futur.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Simplifiqueu les arrels traient quadrats complets d’ella si és possible. Trobar l’arrel d’un quadrat incomplet de vegades pot ser complicat, sobretot si no utilitzeu una calculadora (vegeu la secció següent per obtenir alguns trucs per facilitar aquest procés). Tanmateix, sovint podeu simplificar el número que hi ha a l'arrel per facilitar el treball. Per fer-ho, només heu de tenir en compte el número que hi ha sota l’arrel i, a continuació, trobar l’arrel del factor, que és un quadrat perfecte, i escriure-la fora de l’arrel. Això és més fàcil del que sembla.Seguiu llegint per obtenir més informació.
   • Suposem que hem de trobar l’arrel quadrada de 900. A primera vista, sembla una tasca descoratjadora. Tot i això, no serà tan difícil si dividim el número 900 per factors. Els multiplicadors són nombres que es multipliquen entre si per donar un número nou. Per exemple, el número 6 es pot obtenir multiplicant 1 × 6 i 2 × 3, els seus factors seran els números 1, 2, 3 i 6.
   • En lloc de buscar l’arrel de 900, que és una mica complicada, escrivim 900 com a 9 × 100. Ara que el 9, que és un quadrat perfecte, està separat de 100, podem trobar-ne l’arrel. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). En altres paraules, √ (900) = 3√ (100).
   • Fins i tot podem anar encara més enllà dividint 100 per dos factors, 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Per tant, podem dir: que √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Utilitzeu números imaginaris per trobar l’arrel d’un nombre negatiu. Pregunteu-vos: quin nombre multiplicat per si mateix donarà -16? No són 4 o -4, ja que el quadrat d’aquests números ens donarà un número positiu 16. Voleu rendir-vos? De fet, no hi ha manera d’escriure l’arrel -16 ni cap altre número negatiu en números normals. En aquest cas, hem de substituir els números imaginaris (normalment en forma de lletres o símbols) perquè apareguin en lloc de l’arrel d’un nombre negatiu. Per exemple, la variable "i" s'utilitza normalment per arrelar -1. Normalment, l’arrel d’un nombre negatiu sempre serà el número imaginari (o inclòs).
   • Tingueu en compte que, tot i que els nombres imaginaris no es poden representar per nombres ordinaris, encara es poden tractar com a tals. Per exemple, l'arrel quadrada d'un nombre negatiu es pot quadrar per donar a aquests números negatius, com qualsevol altre, l'arrel quadrada. Per exemple, i = -1

Part 2 de 3: Ús de l'algorisme de divisió llarga

1. 1 Anoteu el problema amb l'arrel com a problema de divisió llarga. Tot i que això pot trigar molt, d'aquesta manera podeu resoldre el problema incomplet de l'arrel quadrada sense recórrer a una calculadora. Per fer-ho, utilitzarem un mètode de solució (o algorisme) similar (però no exactament el mateix) a la divisió llarga regular.
   • En primer lloc, escriviu el problema amb l'arrel en la mateixa forma que per a la divisió llarga. Suposem que volem trobar l’arrel quadrada de 6,45, que no és exactament un quadrat perfecte. En primer lloc, escriurem el símbol quadrat habitual i, a continuació, escriurem un número a sota. A continuació, dibuixarem una línia per sobre del número perquè aparegui en una petita "caixa", igual que en la divisió llarga. Després, tenim una arrel amb una cua llarga i un número de 6,45 a sota.
   • Escrivirem números a sobre de l’arrel, així que assegureu-vos de deixar-hi una mica d’espai.
2. 2 Agrupa els números per parelles. Per començar a resoldre el problema, heu d’agrupar les xifres del número sota el radical per parelles, començant per un punt decimal. Si voleu, podeu fer petites marques (com ara punts, línies obliqües, comes, etc.) entre parelles per evitar confusions.
   • En el nostre exemple, hem d’aparellar el número 6.45 de la següent manera: 6-, 45-00. Tingueu en compte que hi ha un dígit "restant" a l'esquerra; això és normal.
3. 3 Cerqueu el nombre més gran el quadrat del qual sigui menor o igual al primer "grup". Comenceu pel primer número o parell de l'esquerra. Trieu el nombre més gran que tingui un quadrat inferior o igual al "grup" restant. Per exemple, si el grup fos 37, escolliríeu el número 6 perquè 6 = 36 37 i 7 = 49> 37. Escriviu aquest número a sobre del primer grup. Aquest serà el primer número de la vostra resposta.
   • En el nostre exemple, el primer grup de 6-, 45-00 serà el número 6. El nombre més gran que és inferior o igual a 6 al quadrat és 2 = 4. Escriviu el número 2 a sobre del número 6 sota l'arrel .
4. 4 Doble el número que acabeu d’escriure i, a continuació, arrelar-lo i restar-lo. Agafeu el primer dígit de la vostra resposta (el número que acabeu de trobar) i feu-lo doble. Escriviu el resultat al vostre primer grup i resteu per trobar la diferència. Deixeu caure el següent parell de números al costat de la resposta. Finalment, escriviu a l’esquerra l’últim dígit doble del primer dígit de la vostra resposta i deixeu un espai al costat.
   • En el nostre exemple, començarem per duplicar el número 2, que és el primer número de la nostra resposta. 2 × 2 = 4.Després restem 4 de 6 (el nostre primer "grup"), obtenint 2. Després ometem el següent grup (45) per obtenir 245. I finalment, a l'esquerra, tornarem a escriure el número 4, deixant un petit espai a al final, aquí així: 4_
5. 5 Ompliu el buit. A continuació, heu d'afegir un dígit a la part dreta del número enregistrat, que es troba a l'esquerra. Trieu un dígit, multiplicant el que obtindreu amb el vostre número nou per obtenir el resultat més gran possible, però que seria inferior o igual al número "omès". Per exemple, si el vostre número "omès" és 1700 i el vostre número a l'esquerra és 40_, heu d'escriure el número 4 a l'espai, ja que 404 × 4 = 1616 1700, mentre que 405 × 5 = 2025. El dígit trobat en aquest pas i serà el segon dígit de la vostra resposta, de manera que podeu escriure-la a sobre del signe arrel.
   • En el nostre exemple, hem de trobar un número i escriure’l als espais 4_ × _, cosa que farà que la resposta sigui el més gran possible, però igual o inferior a 245. En el nostre cas, és de 5,45 × 5 = 225, mentre que 46 × 6 = 276
6. 6 Continueu fent servir números en blanc per trobar la resposta. Continueu resolent aquesta divisió llarga modificada fins que comenceu a obtenir zeros quan resteu el número "omès" o fins que obtingueu el nivell de precisió que desitgeu. Quan hàgiu acabat, els números que heu utilitzat per omplir els espais en blanc de cada pas (més el primer número) formaran el número de la vostra resposta.
   • Seguint amb el nostre exemple, restem 225 de 245 per obtenir 20. A continuació, deixem caure el següent parell de nombres, 00, per obtenir 2000. Doble el número per sobre del signe arrel. Obtenim 25 × 2 = 50. Resolent l’exemple amb espais, 50_ × _ = / 2.000, obtenim 3. En aquesta etapa, tindrem 253 escrits per sobre del radical i, repetint aquest procés de nou, el nostre següent número serà 9 .
7. 7 Avanceu el punt decimal des del número de dividend original. Per completar la resposta, heu de posar el punt decimal al lloc correcte. Afortunadament, això és bastant fàcil de fer. Tot el que heu de fer és alinear-lo amb el punt numèric original. Per exemple, si el número 49.8 es troba a l’arrel, haureu de posar un punt entre els dos números per sobre del nou i del vuit.
   • En el nostre exemple, hi ha 6.45 sota el radical, de manera que només movem el punt i el posem entre els números 2 i 5 a la nostra resposta i obtenim la resposta igual a 2.539.

Part 3 de 3: Comptar quadres incomplets ràpidament

1. 1 Trobeu quadrats incomplets comptant-los. Un cop memoritzats els quadrats complets, trobar l’arrel dels quadrats incomplets es fa molt més fàcil. Com que ja coneixeu una dotzena de quadrats perfectes, es pot trobar qualsevol nombre que caigui a l'àrea entre aquests dos quadrats complets reduint-ho tot a un recompte aproximat entre aquests valors. Comenceu per trobar dos quadrats complets amb el vostre número entremig. A continuació, determineu a quins d'aquests números es troba més a prop.
   • Per exemple, suposem que hem de trobar l’arrel quadrada de 40. Com que hem memoritzat quadrats perfectes, podem dir que 40 és entre 6 i 7 o 36 i 49. Com que 40 és superior a 6, la seva arrel serà superior a 6 , i com que és inferior a 7, la seva arrel també serà inferior a 7. 40 és una mica més propera a 36 que a 49, de manera que és probable que la resposta sigui una mica més propera a 6. En els propers passos, reduirem la nostra contesta.
2. 2 Compteu l’arrel quadrada fins al primer decimal. Un cop hàgiu seleccionat dos quadrats complets entre els quals es troba el vostre número, tot es reduirà al vostre recompte fins que obtingueu la resposta que desitgeu. Com més compteu, més precisa serà la vostra resposta. Comenceu escollint on posar el punt decimal a la vostra resposta. No ha de ser correcte, però us estalviarà temps si utilitzeu la lògica i acabeu el més a prop possible de la resposta correcta.
   • En el nostre exemple, una estimació raonable de l’arrel quadrada de 40 podria ser 6,4, ja que, segons la informació anterior, sabem que la resposta és més propera a 6 que a 7.
3. 3 Multiplicar el nombre aproximat per si mateix. El següent que heu de fer és quadrar el nombre aproximat. El més probable és que tingueu sort i no rebreu el número original. Serà una mica més gran o una mica més petit.Si el resultat és massa alt, proveu-ho de nou, però amb una estimació lleugerament inferior (i viceversa si el resultat és massa baix).
   • Multipliqueu 6,4 per si mateix i obtindreu 6,4 x 6,4 = 40,96, que és una mica més que el nombre original.
   • Com que la nostra resposta va resultar ser més gran, hauríem de multiplicar el nombre per una dècima menys per l’aproximatiu i obtenir el següent: 6,3 × 6,3 = 39,69. Això és lleugerament inferior al número original. Això significa que l’arrel quadrada de 40 està entre 6,3 i 6,4. Una vegada més, atès que 39,69 és més a prop de 40 que 40,96, sabem que l'arrel quadrada serà més propera a 6,3 que a 6,4.
4. 4 Continueu calculant. En aquest moment, si esteu satisfets amb la vostra resposta, simplement podeu fer la primera conjectura que suposeu. Tanmateix, si voleu una resposta més precisa, tot el que heu de fer és triar un valor aproximat amb dues posicions decimals que posi aquest valor aproximat entre els dos primers números. Continuant aquest recompte, podeu obtenir tres, quatre o més decimals per a la vostra resposta. Tot depèn de fins on vulgui arribar.
   • Per al nostre exemple, escollim 6,33 com a valor aproximat amb dos decimals. Multiplicar 6,33 per si mateix per obtenir 6,33 × 6,33 = 40,0689. ja que és una mica més gran que el nostre nombre, en prendrem un de menor, per exemple, el 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Aquesta resposta és lleugerament inferior al nostre nombre, de manera que sabem que l’arrel quadrada exacta es troba entre 6,32 i 6,33. Si volguéssim continuar, seguiríem utilitzant el mateix enfocament per obtenir una resposta que cada cop és més precisa.

Consells

• Per trobar ràpidament una solució, utilitzeu la calculadora. La majoria de les calculadores modernes poden trobar l’arrel quadrada d’un nombre a l’instant. Tot el que heu de fer és introduir el vostre número i, a continuació, fer clic al botó arrel. Per exemple, per trobar l'arrel 841, haureu de prémer 8, 4, 1 i (√). Com a resultat, rebrà una resposta de 39.