Content

• Passos

Una equació trigonomètrica conté una o més funcions trigonomètriques de la variable "x" (o qualsevol altra variable). Resoldre una equació trigonomètrica consisteix a trobar un valor "x" que satisfaci les funcions i l'equació en el seu conjunt.

• Les solucions a les equacions trigonomètriques s’expressen en graus o radians. Exemples:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 graus; x = 37,12 graus; x = 178,37 graus.

• Nota: els valors de les funcions trigonomètriques a partir d’angles, expressats en radians i a partir d’angles, expressats en graus, són iguals. Un cercle trigonomètric amb un radi igual a un s’utilitza per descriure funcions trigonomètriques, així com per comprovar la correcció de la solució de les equacions i desigualtats trigonomètriques bàsiques.
• Exemples d'equacions trigonomètriques:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Un cercle trigonomètric amb un radi d’un (cercle unitari).
   • És un cercle amb un radi igual a un i centrat en el punt O. El cercle unitari descriu 4 funcions trigonomètriques bàsiques de la variable "x", on "x" és l'angle mesurat des de la direcció positiva de l'eix X en sentit antihorari.
   • Si "x" és un angle del cercle unitari, llavors:
   • L'eix horitzontal OAx defineix la funció F (x) = cos x.
   • L'eix vertical OBy defineix la funció F (x) = sin x.
   • L'eix vertical AT defineix la funció F (x) = tan x.
   • L'eix horitzontal BU defineix la funció F (x) = ctg x.

• El cercle unitari també s'utilitza per resoldre equacions trigonomètriques bàsiques i desigualtats (es consideren diferents posicions de "x").

Passos

1. 1 El concepte de resoldre equacions trigonomètriques.
   • Per resoldre una equació trigonomètrica, converteix-la en una o més equacions trigonomètriques bàsiques. Resoldre una equació trigonomètrica es redueix, finalment, a resoldre quatre equacions trigonomètriques bàsiques.
2. 2 Resolució d’equacions trigonomètriques bàsiques.
   • Hi ha 4 tipus d’equacions trigonomètriques bàsiques:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Resoldre equacions trigonomètriques bàsiques implica mirar les diferents posicions x del cercle de la unitat i utilitzar una taula de conversió (o calculadora).
   • Exemple 1. pecat x = 0,866. Mitjançant una taula de conversió (o calculadora) obtindreu la resposta: x = π / 3. El cercle unitari dóna una altra resposta: 2π / 3. Recordeu: totes les funcions trigonomètriques són periòdiques, és a dir, es repeteixen els seus valors. Per exemple, la periodicitat de sin x i cos x és 2πn, i la periodicitat de tg x i ctg x és πn. Per tant, la resposta s’escriu de la següent manera:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Exemple 2.cos x = -1/2. Mitjançant una taula de conversió (o calculadora) obtindreu la resposta: x = 2π / 3. El cercle unitari dóna una altra resposta: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Exemple 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Resposta: x = π / 4 + πn.
   • Exemple 4. ctg 2x = 1.732.
   • Resposta: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformacions utilitzades per resoldre equacions trigonomètriques.
   • Per transformar equacions trigonomètriques s’utilitzen transformacions algebraiques (factorització, reducció de termes homogenis, etc.) i identitats trigonomètriques.
   • Exemple 5. Utilitzant identitats trigonomètriques, l'equació sin x + sin 2x + sin 3x = 0 es transforma en l'equació 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Per tant, cal resol les equacions trigonomètriques bàsiques següents: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Trobar angles a partir de valors coneguts de funcions.
   • Abans d’aprendre mètodes per resoldre equacions trigonomètriques, heu d’aprendre a trobar angles a partir de valors de funcions coneguts. Això es pot fer mitjançant una taula de conversió o una calculadora.
   • Exemple: cos x = 0,732. La calculadora donarà la resposta x = 42,95 graus. El cercle unitari donarà angles addicionals, el cosinus dels quals també és 0,732.
5. 5 Deixeu de banda la solució al cercle de la unitat.
   • Podeu ajornar les solucions a l’equació trigonomètrica del cercle unitari. Les solucions de l’equació trigonomètrica del cercle unitari són els vèrtexs d’un polígon regular.
   • Exemple: Les solucions x = π / 3 + πn / 2 del cercle unitari són els vèrtexs d’un quadrat.
   • Exemple: Les solucions x = π / 4 + πn / 3 del cercle unitari representen els vèrtexs d’un hexàgon regular.
6. 6 Mètodes per resoldre equacions trigonomètriques.
   • Si una equació trig determinada només conté una funció trig, resoleu aquesta equació com a equació trig bàsica.Si una equació determinada inclou dues o més funcions trigonomètriques, hi ha dos mètodes per resoldre aquesta equació (depenent de la possibilitat de la seva transformació).
     • Mètode 1.
   • Convertiu aquesta equació en una equació de la forma: f (x) * g (x) * h (x) = 0, on f (x), g (x), h (x) són les equacions trigonomètriques bàsiques.
     
     
   • Exemple 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Solució. Utilitzant la fórmula de doble angle sin 2x = 2 * sin x * cos x, substituïu sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Resol ara les dues equacions trigonomètriques bàsiques: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
   • Exemple 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Solució: utilitzant identitats trigonomètriques, transformeu aquesta equació en una equació de la forma: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Resoleu ara les dues equacions trigonomètriques bàsiques: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
   • Exemple 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Solució: mitjançant identitats trigonomètriques, transformeu aquesta equació en una equació de la forma: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Resoleu ara les dues equacions trigonomètriques bàsiques: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
     • Mètode 2.
   • Converteix l'equació trigonomètrica donada en una equació que només conté una funció trigonomètrica. A continuació, substituïu aquesta funció trigonomètrica per alguna cosa desconeguda, per exemple, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etc.).
   • Exemple 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Solució. En aquesta equació, substituïu (cos ^ 2 x) per (1 - sin ^ 2 x) (per identitat). L'equació transformada és:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Substitueix sin x per t. Ara l’equació té aquest aspecte: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Es tracta d’una equació quadràtica amb dues arrels: t1 = -1 i t2 = 9/5. La segona arrel t2 no compleix l’interval de valors de la funció (-1 sin x 1). Ara decidiu: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Exemple 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Solució. Substitueix tg x per t. Torneu a escriure l'equació original de la següent manera: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Ara trobeu t i, a continuació, trobeu x per t = tg x.
7. 7 Equacions trigonomètriques especials.
   • Hi ha diverses equacions trigonomètriques especials que requereixen transformacions específiques. Exemples:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicitat de funcions trigonomètriques.
   • Com s’ha esmentat anteriorment, totes les funcions trigonomètriques són periòdiques, és a dir, els seus valors es repeteixen després d’un període determinat. Exemples:
     • El període de la funció f (x) = sin x és 2π.
     • El període de la funció f (x) = tan x és igual a π.
     • El període de la funció f (x) = sin 2x és π.
     • El període de la funció f (x) = cos (x / 2) és 4π.
   • Si el problema s'especifica al problema, calculeu el valor "x" dins d'aquest període.
   • Nota: Resoldre equacions trigonomètriques no és una tasca fàcil i sovint comporta errors. Per tant, reviseu atentament les vostres respostes. Per fer-ho, podeu utilitzar una calculadora gràfica per traçar l’equació donada R (x) = 0. En aquests casos, les solucions es presentaran com a fraccions decimals (és a dir, π se substitueix per 3.14).