Content

• Passos
• Part 1 de 2: Trobar els factors primers
• Part 2 de 2: Ús de factors primers
• Exemples de tasques
• Consells
• Advertiments

Qualsevol nombre natural es pot descompondre en el producte de factors primers. Si no us agrada tractar amb nombres grans com el 5733, apreneu a factoritzar-los (en aquest cas, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Sovint es fa una tasca similar a la criptografia, que tracta de problemes de seguretat de la informació. Si encara no esteu preparat per crear el vostre propi sistema de correu electrònic segur, primer apreneu a tenir en compte els nombres.

Passos

Part 1 de 2: Trobar els factors primers

1. 1 Apreneu què és el Factoring. La descomposició d'un nombre en el producte de factors és el procés de "dividir-lo" en parts més petites.Quan es multipliquen, aquestes parts o factors donen el nombre original.
   • Per exemple, el número 18 es pot descompondre en els productes següents: 1 x 18, 2 x 9 o 3 x 6.
2. 2 Recordeu què són els nombres primers. Un nombre primer és divisible només per dos nombres sense resta: per si mateix i per 1. Per exemple, el nombre 5 es pot representar com a producte de 5 i 1. Aquest nombre no es pot descompondre en altres factors. El propòsit de tenir en compte un nombre en factors primers és representar-lo com a producte de nombres primers. Això és especialment útil quan es tracta de fraccions, ja que permet comparar-les i simplificar-les.
3. 3 Comenceu pel número original. Trieu un nombre compost superior a 3. No té sentit prendre un nombre primer, ja que només és divisible per si mateix i per un.
   • Exemple: descomposem el número 24 en el producte de nombres primers.
4. 4 Dividim aquest nombre en el producte de dos factors. Cerqueu dos nombres més petits el producte dels quals sigui igual al nombre original. Es pot utilitzar qualsevol factor, però és més fàcil agafar nombres primers. Una bona manera és provar de dividir el nombre original primer per 2, després per 3, després per 5, i comprovar quins d'aquests nombres primers divideix sense restar.
   • Exemple: si no coneixeu els factors de 24, proveu de dividir-lo per primers petits. Així doncs, trobareu que el nombre donat és divisible per 2: 24 = 2 x 12... Aquest és un bon començament.
   • Com que 2 és un nombre primer, és bo fer-lo servir per tenir en compte nombres parells.
5. 5 Comenceu a construir l’arbre multiplicador. Aquest senzill procediment us ajudarà a calcular un nombre. Per començar, dibuixa dues "branques" cap avall del número original. Al final de cada branca, escriviu els factors trobats.
   • Exemple:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Tingueu en compte la següent fila de nombres. Mireu els dos números nous (segona fila de l’arbre multiplicador). Tots dos són nombres primers? Si un d’ells no és senzill, també el factor de dos factors. Feu dues branques més i escriviu dos factors nous a la tercera línia de l’arbre.
   • Exemple: 12 no és un nombre primer, per tant s’hauria de factoritzar. Utilitzeu la descomposició 12 = 2 x 6 i escriviu-la a la tercera línia de l'arbre:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Continueu baixant per l'arbre. Si un dels nous factors resulta ser un nombre primer, traieu-ne una "branca" i escriviu el mateix número al final. Els nombres primers no es poden expandir en factors més petits, de manera que només cal que baixeu un nivell.
   • Exemple: 2 és primer. Només cal moure 2 de la segona a la tercera línia:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Continueu tenint en compte els números fins que només us quedin nombres primers. Comproveu totes les línies noves de l’arbre. Si almenys un dels nous factors no és un nombre primer, factoritzeu-lo i escriviu una nova línia. Al final, només us quedaran nombres primers.
   • Exemple: 6 no és un nombre primer, de manera que també s’ha de tenir en compte. Al mateix temps, 2 és un nombre primer i portem els dos dos al següent nivell:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Escriviu l’última línia com a producte de factors primers. Al final, només us quedaran nombres primers. Quan això passa, la factorització primera es completa. L’última línia és un conjunt de nombres primers, el producte dels quals dóna el nombre original.
   • Comproveu la vostra resposta: multipliqueu els números de l'última línia. El resultat ha de ser el número original.
   • Exemple: l'última fila de l'arbre de factors conté els nombres 2 i 3. Tots dos números són primers, de manera que la descomposició és completa. Per tant, la factorització primera de 24 té la forma següent: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • L’ordre dels factors no té importància. La descomposició també es pot escriure com 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 Si voleu, simplifiqueu la resposta mitjançant la notació exponencial. Si esteu familiaritzats amb l’exponentiació de nombres, podeu escriure la resposta d’una forma més senzilla.Recordeu que la base s’escriu a la part inferior i que el número de superíndex indica quantes vegades s’hauria de multiplicar aquesta base per ella mateixa.
    • Exemple: quantes vegades es produeix el número 2 en la descomposició trobada 2 x 2 x 2 x 3? Tres vegades, de manera que l’expressió 2 x 2 x 2 es pot escriure com 2. En la notació simplificada, obtenim 2 x 3.

Part 2 de 2: Ús de factors primers

1. 1 Trobeu el màxim comú divisor de dos nombres. El màxim comú divisor (MCD) de dos nombres és el nombre màxim pel qual els dos nombres són divisibles sense cap resta. L'exemple següent mostra com utilitzar la factorització primera per trobar el màxim comú divisor de 30 i 36.
   • Factoritzem els dos nombres en factors primers. Per a 30, la factorització és 2 x 3 x 5. El nombre 36 es descompon en factors primers de la següent manera: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Vegem el nombre que es produeix en ambdues expansions. Ratllem aquest número a les dues llistes i l’escrivim en una nova línia. Per exemple, 2 es produeix en dues expansions, de manera que escrivim 2 en una nova línia. Després d'això, tenim 30 = 2 x 3 x 5 i 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Repetiu aquest pas fins que no quedi cap factor comú a les expansions. Les dues llistes també inclouen el número 3, de manera que podeu escriure en una nova línia 2 i 3... A continuació, compareu de nou les expansions: 30 = 2 x 3 x 5 i 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Com podeu veure, no queden en ells cap factor comú.
   • Per trobar el factor comú més gran, cerqueu el producte de tots els factors comuns. En el nostre exemple, són 2 i 3, de manera que el mcd és 2 x 3 = 6... Aquest és el nombre més gran que divideix uniformement els nombres 30 i 36.
2. 2 Amb l’ajut de GCD, podeu simplificar les fraccions. Si sospiteu que es pot cancel·lar una fracció, utilitzeu el màxim factor comú. Cerqueu el MCD del numerador i el denominador mitjançant el procediment anterior. A continuació, divideix el numerador i el denominador de la fracció per aquest nombre. Com a resultat, obteniu la mateixa fracció de forma més senzilla.
   • Per exemple, simplifiquem la fracció /₃₆... Com hem dit més amunt, per a 30 i 36, el MCD és 6, de manera que dividim el numerador i el denominador per 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Trobeu el mínim comú múltiple de dos nombres. El mínim comú múltiple (MCM) de dos nombres és el nombre més petit que és divisible per tots dos nombres. Per exemple, el MCM de 2 i 3 és 6 perquè és el nombre més petit que pot ser divisible per 2 i 3. A continuació es mostra un exemple de trobar el MCM mitjançant la factorització primera:
   • Comencem per dues factoritzacions primeres. Per exemple, per a 126, la factorització es pot escriure com a 2 x 3 x 3 x 7. El nombre 84 es pot descompondre en factors primers com a 2 x 2 x 3 x 7.
   • Comparem quantes vegades es produeix cada factor a les expansions. Seleccioneu la llista on es produeix el multiplicador el nombre màxim de vegades i encercleu aquest lloc. Per exemple, el número 2 apareix una vegada a l'expansió per a 126 i dues vegades a la llista per a 84, de manera que heu de fer un cercle 2 x 2 a la segona llista de factors.
   • Repetiu aquest pas per a cada multiplicador. Per exemple, el 3 és més comú a la primera expansió, de manera que hauríeu de fer-hi un cercle 3 x 3... El número 7 apareix una vegada a les dues llistes, de manera que encerclem 7 (no importa en quina llista, si el factor donat es produeix a les dues llistes el mateix nombre de vegades).
   • Per trobar el LCM, multipliqueu tots els números encerclats. En el nostre exemple, el mínim comú múltiple de 126 i 84 és 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Aquest és el nombre més petit divisible per 126 i 84 sense resta.
4. 4 Utilitzeu LCM per afegir fraccions. En afegir dues fraccions, cal portar-les a un denominador comú. Per fer-ho, trobeu el MCM dels dos denominadors. A continuació, multipliqueu el numerador i el denominador de cada fracció per un nombre tal que els denominadors de les fraccions siguin iguals al MCM. Després, podeu afegir les fraccions.
   • Per exemple, heu de trobar la quantitat /₆ + /₂₁.
   • Mitjançant el mètode anterior, podeu trobar el LCM per a 6 i 21. És 42.
   • Transformem la fracció /₆ de manera que el seu denominador sigui 42. Per fer-ho, heu de dividir 42 per 6: 42 ÷ 6 = 7. Ara multipliqueu el numerador i el denominador de la fracció per 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
   • Per portar la segona fracció al denominador 42, divideix 42 per 21: 42 ÷ 21 = 2. Multiplica el numerador i el denominador de la fracció per 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • Després de reduir les fraccions al mateix denominador, es poden afegir fàcilment: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Exemples de tasques

• Intenteu resoldre els problemes següents.Si creieu que heu rebut la resposta correcta, ressalteu amb el ratolí el lloc després dels dos punts a la declaració del problema. Les darreres tasques són les més difícils.
• Trobeu la factorització primera de 16: 2 x 2 x 2 x 2
• Escriviu la vostra resposta en forma exponencial: 2
• Trobeu la factorització primera de 45: 3 x 3 x 5
• Escriviu la vostra resposta en forma exponencial: 3 x 5
• Trobeu la factorització primera de 34: 2 x 17
• Trobeu la factorització primera de 154: 2 x 7 x 11
• Trobeu la factorització primera de 8 i 40 i, a continuació, determineu el seu màxim comú factor: la factorització primera de 8 és 2 x 2 x 2 x 2; la factorització primera de 40 és 2 x 2 x 2 x 5; MCD de dos nombres 2 x 2 x 2 = 6.
• Cerqueu la factorització primera de 18 i 52 i trobeu el seu mínim comú múltiple: La factorització primera de 18 és 2 x 3 x 3; la factorització primera de 52 és 2 x 2 x 13; El MCM de dos nombres és 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Consells

• Cada número té una característica única de factorització. No importa com trobeu aquesta expansió, hauríeu d’acabar amb la mateixa resposta. Això s’anomena teorema bàsic de l’aritmètica.
• En lloc de tornar a escriure els nombres primers en una nova línia de l'arbre de factors cada vegada, podeu deixar-los al seu lloc i encerclar-los simplement. Al final de l’expansió, inclourà tots els factors primers encerclats.
• Comproveu sempre la resposta que rebeu. Podeu cometre un error i no notar-ho.
• Prepareu-vos per a missions complicades. Si se us demana que trobeu una factorització primera d’un nombre primer, no cal fer cap càlcul. Per exemple, per al nombre 17, la factorització primera és 17; aquest nombre no es pot descompondre en altres factors primers.
• El màxim comú factor i el mínim comú múltiple es pot trobar per a tres o més nombres.

Advertiments

• L’arbre multiplicador permet determinar només els factors primers, no tots els factors possibles.