Com dividir les matrius

Content

Breu resum
Passos
Part 1 de 3: Provar la divisibilitat de les matrius
Part 2 de 3: Trobar la matriu inversa
Part 3 de 3: Multiplicació de matrius
Consells
Advertiments
Articles addicionals

Si sabeu multiplicar dues matrius, podeu començar a "dividir" les matrius. La paraula "divisió" s'inclou entre cometes, perquè les matrius no es poden dividir. L'operació de divisió se substitueix per l'operació de multiplicar una matriu per una matriu que és la inversa de la segona matriu. Per simplificar, considerem un exemple amb enters: 10 ÷ 5. Trobeu el recíproc de 5: 5 o /₅i, a continuació, substituïu la divisió per la multiplicació: 10 x 5; el resultat de la divisió i la multiplicació serà el mateix. Per tant, es creu que la divisió es pot substituir per la multiplicació per la matriu inversa. Normalment, aquests càlculs s’utilitzen per resoldre sistemes d’equacions lineals.

Breu resum

No es poden dividir les matrius. En lloc de dividir, una matriu es multiplica per la inversa de la segona matriu. La "divisió" de dues matrius [A] ÷ [B] s'escriu de la següent manera: [A] * [B] o [B] * [A].
Si la matriu [B] no és quadrada, o si el seu determinant és 0, escriviu "cap solució inequívoca". En cas contrari, trobeu el determinant de la matriu [B] i aneu al següent pas.
Trobeu l’invers: [B].
Multiplicar matrius per trobar [A] * [B] o [B] * [A]. Tingueu en compte que l'ordre en què es multipliquen les matrius afecta el resultat final (és a dir, els resultats poden variar).

Passos

Part 1 de 3: Provar la divisibilitat de les matrius

1 Comprendre la "divisió" de les matrius. De fet, les matrius no es poden dividir. No hi ha cap operació matemàtica com "dividir una matriu per una altra". La divisió se substitueix multiplicant una matriu per la inversa de la segona matriu. És a dir, la notació [A] ÷ [B] no és correcta, de manera que es substitueix per la següent: [A] * [B]. Com que ambdues entrades són equivalents en el cas dels valors escalars, teòricament podem parlar de "divisió" de matrius, però encara és millor utilitzar la terminologia correcta.
- Tingueu en compte que [A] * [B] i [B] * [A] són operacions diferents. Pot ser necessari realitzar ambdues operacions per trobar totes les solucions possibles.
- Per exemple, en lloc de ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ Escriu a sota ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  És possible que hagueu de calcular ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ per obtenir un resultat diferent.
2 Assegureu-vos que la matriu per la qual "dividiu" l'altra matriu sigui quadrada. Per invertir una matriu (trobar l’invers d’una matriu), ha de ser quadrada, és a dir, amb el mateix nombre de files i columnes. Si la matriu invertida no és inversa, no hi ha una solució definida.
- De nou, les matrius no són "divisibles" aquí. En l'operació [A] * [B], la condició descrita fa referència a la matriu [B]. En el nostre exemple, aquesta condició fa referència a la matriu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Una matriu que es pot invertir s’anomena no degenerada o regular. Una matriu que no es pot invertir s’anomena degenerada o singular.
3 Comproveu si es poden multiplicar les dues matrius. Per multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona matriu. Si aquesta condició no es compleix a l'entrada [A] * [B] o [B] * [A], no hi ha cap solució.
- Per exemple, si la mida de la matriu [A] és 4 x 3 i la mida de la matriu [B] és 2 x 2, no hi ha solució. No podeu multiplicar [A] * [B] perquè 4 ≠ 2 i no podeu multiplicar [B] * [A] perquè 2 ≠ 3.
- Tingueu en compte que la matriu inversa [B] sempre té el mateix nombre de files i columnes que la matriu original [B]. No cal trobar la matriu inversa per comprovar que es poden multiplicar dues matrius.
- En el nostre exemple, la mida de les dues matrius és de 2 x 2, de manera que es poden multiplicar en qualsevol ordre.
4 Trobeu el determinant de la matriu 2 × 2. Recordeu: podeu invertir una matriu només si el seu determinant no és zero (en cas contrari, no podeu invertir la matriu). A continuació s’explica com trobar el determinant d’una matriu de 2 x 2:
- Matriu 2 x 2: determinant d’una matriu ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ és igual a ad - bc. És a dir, del producte dels elements de la diagonal principal (passa per les cantonades superior esquerra i inferior dreta), resteu els productes dels elements de l’altra diagonal (passa per les cantonades superior dreta i inferior esquerra).
- Per exemple, el determinant de la matriu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ és igual a (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. El determinant és diferent de zero, de manera que aquesta matriu es pot invertir.
5 Trobeu el determinant de la matriu més gran. Si la mida de la matriu és de 3 x 3 o més, el determinant és una mica més difícil de calcular.
- Matriu 3 x 3: seleccioneu qualsevol element i ratlleu la fila i la columna en què es troba.Cerqueu el determinant de la matriu 2 × 2 resultant i multipliqueu-lo per l'element seleccionat; especifiqueu el signe del determinant en una taula especial. Repetiu aquest procés per als altres dos elements que es troben a la mateixa fila o columna que l'element que heu seleccionat. Després trobeu la suma dels (tres) determinants rebuts. Llegiu aquest article per obtenir més informació sobre com trobar el determinant d’una matriu de 3 x 3.
- Matrius grans: el determinant d’aquestes matrius es busca millor amb una calculadora gràfica o un programari. El mètode és similar al mètode per trobar el determinant d’una matriu 3 × 3, però és bastant tediós aplicar-lo manualment. Per exemple, per trobar el determinant d’una matriu de 4 x 4, heu de trobar els determinants de quatre matrius de 3 x 3.
6 Continuar els càlculs. Si la matriu no és quadrada o si el seu determinant és igual a zero, escriviu "cap solució inequívoca", és a dir, el procés de càlcul s'ha completat. Si la matriu és quadrada i té un determinant diferent de zero, vés a la secció següent.

Part 2 de 3: Trobar la matriu inversa

1 Intercanvieu els elements de la diagonal principal de la matriu 2 x 2. Donada una matriu 2 × 2, utilitzeu el mètode invers ràpid. Primer, canvieu l’element superior esquerre i l’element inferior dret. Per exemple:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Nota: la majoria de la gent utilitza calculadores per invertir una matriu de 3 x 3 (o més gran). Si heu de fer-ho manualment, aneu al final d’aquesta secció.
2 No intercanvieu els dos elements restants, sinó canvieu-ne el signe. És a dir, multipliqueu l’element superior dret i l’element inferior esquerre per -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Trobeu el recíproc del determinant. El determinant d’aquesta matriu es va trobar a l’apartat anterior, de manera que no el tornarem a calcular. La inversa del determinant s’escriu de la següent manera: 1 / (determinant):
- En el nostre exemple, el determinant és 13. Valor invers: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Multiplicar la matriu resultant per la recíproca del determinant. Multiplicar cada element de la nova matriu per la inversa del determinant. La matriu final serà la inversa de la matriu original 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Comproveu que els càlculs siguin correctes. Per fer-ho, multipliqueu la matriu original per la seva inversa. Si els càlculs són correctes, el producte de la matriu original per la inversa donarà la matriu d'identitat: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Si la prova va tenir èxit, aneu a la secció següent.
- En el nostre exemple: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Per obtenir més informació sobre com multiplicar les matrius, llegiu aquest article.
- Nota: l’operació de la multiplicació de matrius no és commutativa, és a dir, l’ordre de les matrius és important. Però quan la matriu original es multiplica per la seva inversa, qualsevol ordre condueix a la matriu d'identitat.
6 Trobeu la inversa d’una matriu de 3 x 3 (o més gran). Si ja esteu familiaritzats amb aquest procés, és millor utilitzar una calculadora gràfica o un programari especial. Si necessiteu trobar la matriu inversa manualment, el procés es descriu breument a continuació:
- Uniu-vos a la matriu d'identitat I a la part dreta de la matriu original. Per exemple, [B] → [B | Jo]. Per a la matriu d’identitat, tots els elements de la diagonal principal són iguals a 1 i la resta d’elements són iguals a 0.
- Simplifiqueu la matriu de manera que el seu costat esquerre quedi esglaonat; continueu simplificant perquè el costat esquerre esdevingui la matriu d'identitat.
- Després de la simplificació, la matriu adoptarà la forma següent: [I | B]. És a dir, el seu costat dret és l’invers de la matriu original.

Part 3 de 3: Multiplicació de matrius

1 Anoteu dues expressions possibles. L’operació de multiplicar dos escalars és commutativa, és a dir, 2 x 6 = 6 x 2.Aquest no és el cas en el cas de la multiplicació de matrius, de manera que és possible que hagueu de resoldre dues expressions:
- x = [A] * [B] és la solució a l'equació x[B] = [A].
- x = [B] * [A] és la solució a l'equació [B]x = [A].
- Realitzeu cada operació matemàtica a banda i banda de l’equació. Si [A] = [C], llavors [B] [A] ≠ [C] [B] perquè [B] es troba a l’esquerra de [A] però a la dreta de [C].
2 Determineu la mida de la matriu final. La mida de la matriu final depèn de la mida de les matrius multiplicades. El nombre de files de la matriu final és igual al nombre de files de la primera matriu i el nombre de columnes de la matriu final és igual al nombre de columnes de la segona matriu.
- En el nostre exemple, la mida de les dues matrius ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 i 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ i ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ és de 2 x 2, de manera que la mida de la matriu original serà de 2 x 2.
- Penseu en un exemple més complex: si la mida de la matriu [A] és 4 x 3, i la mida de la matriu [B] és de 3 x 3, llavors la matriu final [A] * [B] serà 4 x 3.
3 Cerqueu el valor del primer element. Llegiu aquest article o recordeu els passos bàsics següents:
- Per trobar el primer element (primera fila, primera columna) de la matriu final [A] [B], calculeu el producte punt dels elements de la primera fila de la matriu [A] i els elements de la primera columna de la matriu [B] ]. En el cas d’una matriu de 2 x 2, el producte punt es calcula de la següent manera: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- En el nostre exemple: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Així, el primer element de la matriu final serà l’element:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Continueu calculant productes punt per trobar cada element de la matriu final. Per exemple, l'element situat a la segona fila i a la primera columna és igual al producte punt de la segona fila de la matriu [A] i la primera columna de la matriu [B]. Intenteu trobar els articles restants vosaltres mateixos. Hauríeu d'obtenir els resultats següents:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 i 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Si necessiteu trobar una altra solució: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 final {pmatrix}}}$

Consells

La matriu es pot dividir en un escalar; per a això, cada element de la matriu està dividit per un escalar.
- Per exemple, si la matriu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ dividit per 2, s'obté la matriu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Advertiments

La calculadora no sempre dóna resultats absolutament precisos quan es tracta de càlculs de matriu. Per exemple, si la calculadora afirma que l’element és un nombre molt petit (com ara 2E), és probable que el valor sigui zero.