Content

• Per trepitjar

Una equació trigonomètrica és una equació amb una o més funcions trigonomètriques de la variable corba trigonomètrica x. Resoldre per x significa trobar els valors de les corbes trigonomètriques les funcions trigonomètriques de les quals fan que l’equació trigonomètrica sigui certa.

• Les respostes o valors de les corbes de solució s’expressen en graus o radians. Exemples:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 graus; x = 37,12 graus; x = 178,37 graus

• Nota: Al cercle unitari, les funcions trigonomètriques de qualsevol corba són iguals a les funcions trigonomètriques de l'angle corresponent. El cercle unitari defineix totes les funcions trigonomètriques de la corba variable x. També s’utilitza com a prova per resoldre equacions i desigualtats trigonomètriques bàsiques.
• Exemples d'equacions trigonomètriques:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. El cercle de la unitat.
   • Es tracta d’un cercle amb radi = 1, on O és l’origen. El cercle unitari defineix 4 funcions trigonomètriques principals de la corba variable x, que la circumval·la en sentit antihorari.
   • Quan la corba amb valor x varia segons el cercle unitari, es manté:
   • L'eix horitzontal OAx defineix la funció trigonomètrica f (x) = cos x.
   • L'eix vertical OBy defineix la funció trigonomètrica f (x) = sin x.
   • L'eix vertical AT defineix la funció trigonomètrica f (x) = tan x.
   • L'eix horitzontal BU defineix la funció trigonomètrica f (x) = cot x.

• El cercle unitari també s’utilitza per resoldre equacions trigonomètriques bàsiques i desigualtats trigonomètriques estàndard tenint en compte les diverses posicions de la corba x sobre el cercle.

Per trepitjar

1. Comprendre el mètode de la solució.
   • Per resoldre una equació trigonomètrica la convertiu en una o més equacions trigonomètriques bàsiques. Resoldre equacions trigonomètriques resulta en la resolució de 4 equacions trigonomètriques bàsiques.
2. Saber resoldre equacions trigonomètriques bàsiques.
   • Hi ha 4 equacions trigonomètriques bàsiques:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; cot x = a
   • Podeu resoldre les equacions trigonomètriques bàsiques estudiant les diverses posicions de la corba x sobre el cercle trigonomètric i utilitzant una taula de conversió trigonomètrica (o calculadora). Per entendre completament com resoldre aquestes equacions trigonomètriques bàsiques i similars, llegiu el llibre següent: "Trigonometria: resolució d'equacions trigonomètriques i desigualtats" (Amazon E-book 2010).
   • Exemple 1. Resol per sin x = 0,866. La taula de conversió (o calculadora) dóna la resposta: x = Pi / 3. El cercle trigonomètric dóna una altra corba (2Pi / 3) amb el mateix valor per al sinus (0,866). El cercle trigonomètric també proporciona una infinitat de respostes anomenades respostes esteses.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi i x2 = 2Pi / 3. (Respostes en un període (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi i x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Respostes detallades).
   • Exemple 2. Resoldre: cos x = -1/2. Les calculadores donen x = 2 Pi / 3. El cercle trigonomètric també dóna x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi i x2 = - 2Pi / 3. (Respostes per al període (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi i x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Respostes ampliades)
   • Exemple 3. Resol: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Resposta)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Resposta ampliada)
   • Exemple 4. Resoldre: cot 2x = 1.732. Les calculadores i el cercle trigonomètric donen:
   • x = Pi / 12; (Resposta)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Respostes ampliades)
3. Aprendre les transformacions utilitzades per resoldre equacions trigonomètriques.
   • Per convertir una equació trigonomètrica determinada en equacions trigonomètriques estàndard, utilitzeu conversions algebraiques estàndard (factorització, factor comú, polinomis ...), definicions i propietats de funcions trigonomètriques i identitats trigonomètriques. N’hi ha aproximadament 31, 14 de les quals són identitats trigonomètriques, del 19 al 31, també anomenades identitats de transformació, perquè s’utilitzen en la conversió d’equacions trigonomètriques. Vegeu el llibre anterior.
   • Exemple 5: L'equació trigonomètrica: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 es pot convertir en un producte d'equacions trigonomètriques bàsiques mitjançant identitats trigonomètriques: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Les equacions trigonomètriques bàsiques a resoldre són: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; i cos (x / 2) = 0.
4. Trobeu les corbes per les quals es coneixen les funcions trigonomètriques.
   • Abans de poder aprendre a resoldre equacions trigonomètriques, heu de saber trobar ràpidament les corbes per a les quals es coneixen les funcions trigonomètriques. Els valors de conversió de corbes (o angles) es poden determinar amb taules trigonomètriques o amb la calculadora.
   • Exemple: resoleu per cos x = 0,732. La calculadora dóna la solució x = 42,95 graus. El cercle unitari dóna altres corbes amb el mateix valor per al cosinus.
5. Dibuixa l’arc de la resposta al cercle de la unitat.
   • Podeu crear un gràfic per il·lustrar la solució al cercle de la unitat. Els punts finals d’aquestes corbes són polígons regulars al cercle trigonomètric. Alguns exemples:
   • Els punts finals de la corba x = Pi / 3 + k. Pi / 2 és un quadrat al cercle de la unitat.
   • Les corbes de x = Pi / 4 + k.Pi / 3 es representen mitjançant les coordenades d’un hexàgon al cercle unitari.
6. Apreneu a resoldre equacions trigonomètriques.
   • Si l’equació trigonomètrica donada només conté una funció trigonomètrica, resoleu-la com una equació trigonomètrica estàndard. Si l'equació donada conté dues o més funcions trigonomètriques, hi ha 2 mètodes de solució, en funció de les opcions per convertir l'equació.
     • A. Mètode 1.
   • Convertiu l’equació trigonomètrica en un producte de la forma: f (x) .g (x) = 0 o f (x) .g (x) .h (x) = 0, on f (x), g (x) i h (x) són equacions trigonomètriques bàsiques.
   • Exemple 6. Resoldre: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solució. Substituïu sin 2x a l'equació mitjançant la identitat: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Resol llavors 2 funcions trigonomètriques estàndard: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
   • Exemple 7. Resoldre: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solució: converteix-ho en un producte mitjançant les identitats trigonomètriques: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Resol ara les 2 equacions trigonomètriques bàsiques: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
   • Exemple 8. Resoldre: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Solució: converteix-ho en un producte, utilitzant les identitats trigonomètriques: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ara resol les 2 equacions trigonomètriques bàsiques: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
     • B. Enfocament 2.
   • Converteix l'equació trig en una equació trig amb només una funció trig única com a variable. Hi ha alguns consells sobre com triar una variable adequada. Les variables habituals són: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t i tan (x / 2) = t.
   • Exemple 9. Resoldre: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Solució. A l'equació, substituïu (cos ^ 2x) per (1 - sin ^ 2x) i simplifiqueu l'equació:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Ara utilitza sin x = t. L’equació es converteix en: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Es tracta d’una equació de segon grau amb 2 arrels: t1 = -1 i t2 = 9/5. Podem rebutjar el segon t2, perquè> 1. Ara resolem per: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Exemple 10. Resol: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Solució. Utilitzeu tan x = t. Convertiu l’equació donada en una equació amb t com a variable: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Resoleu t d’aquest producte i, a continuació, resoleu l’equació trigonomètrica estàndard tan x = t per x.
7. Resol equacions trigonomètriques especials.
   • Hi ha algunes equacions trigonomètriques especials que requereixen algunes conversions específiques. Exemples:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Conegueu les propietats periòdiques de les funcions trigonomètriques.
   • Totes les funcions trigonomètriques són periòdiques, el que significa que tornen al mateix valor després d'una rotació durant un període. Exemples:
     • La funció f (x) = sin x té 2Pi com a punt.
     • La funció f (x) = tan x té Pi com a punt.
     • La funció f (x) = sin 2x té Pi com a punt.
     • La funció f (x) = cos (x / 2) té com a punt 4Pi.
   • Si el període s’especifica als exercicis / prova, només haureu de trobar les corbes x d’aquest període.
   • NOTA: Resoldre equacions trigonomètriques és complicat i sovint comporta errors i errors. Per tant, les respostes s’han de revisar acuradament. Després de resoldre-les, podeu consultar les respostes mitjançant una calculadora gràfica per obtenir una representació directa de l’equació trigonomètrica donada R (x) = 0. Les respostes (com a arrel quadrada) es donen en decimals. Com a exemple, Pi té un valor de 3,14