Calculeu les arrels cubes a mà

Vídeo: raiz cuadrada de 112 . como reducir la raiz cuadrada

Content

Per trepitjar
Part 1 de 3: elaboració d'un exemple de tasca
Part 2 de 3: trobar l’arrel cub mitjançant una estimació repetida
Consells
Advertiments
Necessitats

Mitjançant una calculadora, calcular l’arrel cub de qualsevol número no és més que prémer unes quantes tecles. Però potser no teniu calculadora o voleu impressionar als vostres amics amb la vostra capacitat per elaborar una arrel cub a mà alçada. Hi ha un mètode que a primera vista sembla una mica dur, però que funciona molt senzillament amb una mica de pràctica. És útil tenir alguns coneixements preparats en el camp de les habilitats aritmètiques i el càlcul de nombres cúbics.

Per trepitjar

Part 1 de 3: elaboració d'un exemple de tasca

Elabora el problema. Resoldre l’arrel cub d’un número semblarà resoldre una divisió llarga, amb algunes diferències aquí i allà. El primer pas és escriure l’enunciat correctament.
- Escriviu el número per al qual voleu determinar l'arrel cub. Escriviu els números en grups de tres, sent la coma el punt de partida. En aquest exemple, determinarà l’arrel cub de 10. Escriviu-ho com a 10.000000. Els zeros són necessaris per a la precisió de la resposta.
- Dibuixa una arrel quadrada cub sobre el número. Això té el mateix propòsit que la línia en divisió llarga. L’única diferència és la forma del símbol.
- Col·loqueu una coma a sobre de la línia, directament a sobre de la coma al número original.
Conèixer els cubs de les unitats. Els faràs servir en els teus càlculs. Es tracta dels tercers poders següents:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Determineu el primer dígit de la vostra resposta. Seleccioneu un número que, al cub, doni el resultat més gran possible que sigui inferior al primer conjunt de tres números.
  - En aquest exemple, el primer conjunt de tres nombres multiplicats junts és igual a 10. Trobeu el cub més gran que sigui inferior a 10. És a dir, 8 i la seva arrel cub sigui 2.
  - Escriviu el número 2 per sobre de l’arrel quadrada, per sobre del número 10. Escriviu el valor de 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Configureu la configuració del següent dígit. Escriviu el següent grup de tres números a la resta i dibuixeu una curta línia vertical a l’esquerra del número resultant. Aquest serà el número que utilitzarem per determinar el següent dígit de la solució de l'arrel cub. En aquest exemple, es converteix en 2000, que es crea a partir del restant 2 de la suma de resta anterior, amb el grup de tres zeros que heu eliminat.
    - A l’esquerra de la línia vertical, escriviu la solució del divisor següent, com a suma de tres nombres separats. Indiqueu els espais buits per a aquests números, subratllant tres punts en blanc amb signes més a sota.
  - Cerqueu l’inici del següent divisor. Per a la primera part del divisor, escriviu tres-centes vegades el quadrat del que hi ha a sobre del signe de l'arrel quadrada. En aquest cas és 2; 2 ^ 2 és 4 i 4 * 300 = 1200. Escriviu el vostre 1200 al primer espai en blanc. El divisor d’aquest pas de la solució es converteix en 1200, més una altra cosa que calcularà en un moment.
  - Cerqueu el següent número a l'arrel cub. Trobeu el següent dígit de la vostra solució seleccionant el que podeu multiplicar pel divisor (1200 és una altra cosa) i després resteu-lo del que queda de 2000. Això només pot ser 1, perquè 2 vegades 1200 és igual a 2400, que és superior a 2000 Escriviu el número 1 al següent espai sobre el signe arrel quadrada.
  - Trobeu la resta del divisor. El divisor en aquest pas de la solució consta de tres parts. La primera part són els 1200 que ja teniu. Ara haureu d’afegir dos termes més per completar el divisor.
    - Ara calculeu 3 vegades 10 vegades cadascun dels dos dígits de la vostra solució per sobre del signe d’arrel quadrada. Per a aquest exercici senzill, això significa 3 * 10 * 2 * 1, que és igual a 60. Afegiu-lo als 1200 que ja teníeu i obtindreu 1260.
    - Finalment, afegiu el quadrat de l’últim dígit. En aquest exemple és 1; i 1 ^ 2 segueix sent 1. Per tant, el divisor total és 1200 + 60 + 1, o 1261. Escriviu-ho a l'esquerra de la línia vertical.
  - Multiplicar i restar. Arrodoneix aquesta part de la solució multiplicant l’últim dígit de la teva solució (en aquest cas, el nombre 1) el divisor que acabes de calcular (1261). 1 * 1261 = 1261. Escriviu això a sota del 2000 i resteu 1261 per obtenir 739.
  - Decidiu anar més enllà per obtenir una resposta més precisa. Després de completar la resta de cada pas, hauríeu de comprovar si la resposta és prou exacta. Per a l'arrel cub de 10, després de la primera suma menys, l'arrel cub era només de 2, cosa que no és realment exacta. Ara, després de la segona ronda, la solució és 2.1.
    - Podeu comprovar la precisió d’aquest resultat mitjançant el cub: 2.1 * 2.1 * 2.1. El resultat és 9.261.
    - Si creieu que el resultat és prou exacte, podeu aturar-vos. Si voleu una resposta més precisa, heu de passar per una altra ronda.
  - Determineu el divisor per a la següent ronda. En aquest cas, per obtenir més pràctica i una resposta més precisa, repetiu els passos per a una altra ronda, de la manera següent:
    - Reduïu el següent grup de tres números. En aquest cas, es tracta de tres zeros, que arriben després del 739 restant a formar 739.000.
    - Comenceu el divisor amb 300 vegades el quadrat del nombre que hi ha actualment a sobre del signe de l'arrel quadrada. Això és 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Multiplicar el divisor pel resultat. Després de calcular el divisor en la següent ronda i ampliar la solució amb un dígit més, procediu de la següent manera:
      - Multiplicar el divisor per l'últim dígit de la solució. 135.475 * 5 = 677.375.
      - Sostreure. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Considereu si la solució 2.15 és prou exacta. Calculeu-ne el cub i obtindreu ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Escriviu la vostra resposta final. El resultat per sobre de l’arrel quadrada és l’arrel cub, amb una precisió de tres dígits significatius. En aquest exemple, l’arrel cub de 10 és igual a 2,15. Comproveu-ho calculant 2,15 ^ 3 = 9,94, que es pot arrodonir fins a 10. Si necessiteu una resposta més precisa, continueu fent-ho fins que us satisfaci.

Part 2 de 3: trobar l’arrel cub mitjançant una estimació repetida

Utilitzeu nombres cúbics per establir els límits superior i inferior. Quan se us demani l'arrel cub d'un número determinat, comenceu escollint un cub que sigui el més proper possible sense que sigui superior al vostre número objectiu.
- Per exemple, si voleu trobar l'arrel cub de 600, recordeu-ho (o utilitzeu un cub) 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Calculeu el següent dígit. Suprimiu el primer dígit en conèixer alguns números cúbics. Per al següent dígit, calculeu un número entre 0 i 9 segons el lloc on es trobi el vostre nombre objectiu entre els dos números límit.
  - En el problema d'exemple, 600 (el vostre número objectiu) es troba aproximadament a la meitat dels números límit 512 i 729. De manera que trieu 5 com a número següent.
- Poseu a prova la vostra estimació determinant-ne el cub. Proveu de multiplicar l'estimació amb què esteu treballant actualment per esbrinar a quina distància esteu del número objectiu.
  - En aquest exemple, esteu multiplicant 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Ajusteu l'estimació segons sigui necessari. Després de pujar al cub de la vostra última conjectura, comproveu el resultat amb el número objectiu. Si el resultat és superior a l'objectiu, la vostra estimació hauria de ser menor. Si el resultat és inferior a l’objectiu, haureu d’ajustar-lo cap amunt fins arribar a l’objectiu.
    - Per exemple, en aquesta afirmació 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Calculeu el següent dígit per obtenir una resposta més precisa. Seguiu aquest procediment per estimar els números del 0 al 9 fins que la resposta sigui tan precisa com vulgueu. Abans de cada ronda d’estimació, comenceu comprovant la posició del vostre darrer càlcul entre els números límit.
      - En aquest exercici d'exemple, la vostra última ronda de càlculs ho demostra ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592,7}$ Continueu estimant i ajustant-vos. Feu-ho tantes vegades com calgui, eleveu la vostra suposició a potència cúbica i vegeu com es compara amb el nombre objectiu. Cerqueu números que estiguin just a sota o just per sobre del número objectiu.
        Per a aquest exercici d'exemple, començareu per assenyalar-ho ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Continueu fins aconseguir la precisió desitjada. Continueu estimant, comparant i tornant a estimar el temps que sigui necessari fins que la solució sigui tan precisa com vulgueu. Tingueu en compte que amb cada decimal, els números objectiu s’acosten cada cop més al nombre real.
        Per a l'exemple de l'arrel cub de 600, suposant dos nombres decimals, esteu a menys d'1 del 8,43 del número objectiu. Si continueu amb tres decimals, ho veureu ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599,93}$ Reviseu el binomi de Newton. Per entendre per què aquest algorisme funciona per determinar les arrels cubals, primer heu de pensar en el que sembla que el cub és binomial. Probablement ho heu après a les matemàtiques de l’institut (i, com la majoria de la gent, probablement se n’oblidà ràpidament). Seleccioneu dues variables ${ displaystyle A}$ Escriviu el binomi en forma cúbica. Ara treballem cap enrere determinant primer el cub i després mirant per què funciona la solució d’arrel cub. Necessitem els valors de ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Conèixer el significat de la divisió llarga. Tingueu en compte que el mètode de l'arrel cub funciona igual que la divisió llarga. En divisió llarga, veieu que dos factors multiplicats junts donen el nombre amb què heu començat. En aquest càlcul, el número que busqueu (el número que apareix finalment a sobre de l’arrel quadrada) és l’arrel cub. Això significa que és igual al terme (10A + B). L’actual A i B ara són irrellevants, sempre que entengueu la relació amb la resposta.
        Veure la versió ampliada. Quan mireu el binomi de Newton, podeu veure per què l'algorisme de l'arrel cub és correcte. Vegeu com el divisor a cada pas de l'algorisme és igual a la suma dels quatre termes que heu de calcular i afegir. Aquests termes es presenten de la següent manera:
        El primer terme conté un múltiple de 1000. Primer heu de triar un número que es pugui elevar al cub i, tot i així, romandrà dins del rang de la divisió llarga com a primer número. Això dóna el terme 1000A ^ 3 en el binomi.
        El segon terme del binomi de Newton té 300 com a coeficient. (Això ve de ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ La precisió del rellotge creix. Quan feu una divisió llarga, cada pas que realitzeu proporciona una gran precisió a la vostra resposta. Per exemple, l'exemple de problema treballat en aquest article és per determinar l'arrel cub de 10. Al primer pas, la solució és 2, perquè ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ s’acosta, però és inferior a 10. De fet, sí ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Després de la segona ronda, la vostra solució és 2.1. Un cop ho hàgiu resolt, ho obtindreu ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$ , molt més a prop del resultat desitjat (10). Després de la tercera ronda, teniu 2.15, cosa que us dóna ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ . Seguiu treballant en grups de tres números i obtindreu una resposta tan precisa com vulgueu.

Consells

Com qualsevol altra cosa, les vostres habilitats matemàtiques milloraran amb la pràctica. Com més practiqueu, millor podreu fer aquest tipus de càlculs.