Content

• Passos
• Primera part de 3: Factorització de binomis
• Part 2 de 3: Factorització de binomis per resoldre equacions
• Part 3 de 3: Resolució de problemes complexos
• Consells
• Advertiments

Un binomi (binomi) és una expressió matemàtica amb dos termes entre els quals hi ha un signe més o menys, per exemple, ${ displaystyle ax + b}$... El primer membre inclou la variable i el segon la inclou o no. Factoritzar un binomi implica trobar termes que, multiplicats, produeixen el binomi original per resoldre-ho o simplificar-lo.

Passos

Primera part de 3: Factorització de binomis

1. 1 Comprendre els conceptes bàsics del procés de factoring. Quan es té en compte un binomi, el factor que és divisor de cada terme del binomi original es treu del parèntesi. Per exemple, el nombre 6 és completament divisible per 1, 2, 3, 6. Per tant, els divisors del nombre 6 són els números 1, 2, 3, 6.
   • Divisors 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Els divisors de qualsevol nombre són 1 i el nombre mateix. Per exemple, els divisors de 3 són 1 i 3.
   • Els divisors enters només poden ser enters. El nombre 32 es pot dividir per 3,564 o 21,4952, però no obteniu un nombre enter, sinó una fracció decimal.
2. 2 Ordeneu els termes del binomi per facilitar el procés de factoring. Un binomi és la suma o diferència de dos termes, almenys un dels quals conté una variable. De vegades, les variables augmenten a una potència, per exemple, ${ displaystyle x ^ {2}}$ o bé ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... És millor ordenar els termes del binomi en ordre ascendent d’exponents, és a dir, s’escriu primer el terme amb l’exponent menor i el més gran, l’últim. Per exemple:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Fixeu-vos en el signe menys davant de 2. Si es resta un terme, escriviu un signe menys al davant.
3. 3 Trobeu el màxim comú divisor (MCD) d’ambdós termes. GCD és el nombre més gran pel qual els dos membres del binomi són divisibles. Per fer-ho, busqueu els divisors de cada terme al binomi i seleccioneu el màxim divisor comú. Per exemple:
   • Una tasca:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Divisors 3: 1, 3
     • Divisors 6: 1, 2, 3, 6.
     • MCD = 3.
4. 4 Dividiu cada terme en el binomi pel divisor comú més gran (GCD). Feu això per tenir en compte el GCD. Tingueu en compte que cada membre del binomi disminueix (perquè és divisible), però si el GCD s’exclou del parèntesi, l’expressió final serà igual a l’original.
   • Una tasca:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Cerqueu el GCD: 3
   • Divideix cada terme binomial per mcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Mou el divisor dels parèntesis. Abans, dividíeu els dos termes del binomi pel divisor 3 i obteníeu ${ displaystyle t + 2}$... Però no us podeu desfer de 3: perquè els valors de les expressions inicial i final siguin iguals, heu de posar 3 fora dels parèntesis i escriure l’expressió obtinguda com a resultat de la divisió entre parèntesis. Per exemple:
   • Una tasca:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Cerqueu el GCD: 3
   • Divideix cada terme binomial per mcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multiplicar el divisor per l'expressió resultant:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Resposta: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Comproveu la vostra resposta. Per fer-ho, multipliqueu el terme abans dels claudàtors per cada terme dins dels claudàtors. Si obteniu el binomi original, la solució és correcta. Ara resol el problema ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Ordenar els membres:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Cerqueu el GCD:${ displaystyle 6}$
   • Divideix cada terme binomial per mcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multiplicar el divisor per l’expressió resultant:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Comproveu la resposta:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Part 2 de 3: Factorització de binomis per resoldre equacions

1. 1 Factoreu el binomi per simplificar-lo i resoldre l’equació. A primera vista, sembla impossible resoldre algunes equacions (sobretot amb binomis complexos). Per exemple, resol l’equació ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$... Hi ha potències en aquesta equació, per tant, tingueu en compte l’expressió primer.
   • Una tasca:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Recordeu que un binomi té dos membres. Si l'expressió inclou més termes, apreneu a resoldre polinomis.
2. 2 Sumeu o resteu algun monomi a tots dos costats de l'equació de manera que quedi zero en un costat de l'equació. En el cas de la factorització, la solució a les equacions es basa en el fet immutable que qualsevol expressió multiplicada per zero és igual a zero. Per tant, si equiparem l’equació a zero, qualsevol dels seus factors ha de ser igual a zero. Estableix un costat de l'equació a 0.
   • Una tasca:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Estableix a zero:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Tingueu en compte la paperera resultant. Feu-ho tal com es descriu a la secció anterior. Trobeu el màxim factor comú (MCD), dividiu els dos termes del binomi per ell i, a continuació, moveu el factor dels parèntesis.
   • Una tasca:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Estableix a zero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Factor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Estableix cada factor a zero. A l'expressió resultant, 2y es multiplica per 4 - y, i aquest producte és igual a zero. Com que qualsevol expressió (o terme) multiplicada per zero és zero, aleshores 2y o 4 - y és 0. Establiu el monomi i el binomi resultants a zero per trobar "y".
   • Una tasca:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Estableix a zero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Factor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Estableix els dos factors a 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Resol les equacions resultants per trobar la resposta (o respostes) final. Com que cada factor equival a zero, l'equació pot tenir múltiples solucions. En el nostre exemple:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Comproveu la vostra resposta. Per fer-ho, substituïu els valors trobats a l'equació original. Si la igualtat és certa, la decisió és correcta. Substituïu els valors trobats en lloc de "y". En el nostre exemple, y = 0 i y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Aquesta és la decisió correcta
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$I aquesta és la decisió correcta

Part 3 de 3: Resolució de problemes complexos

1. 1 Recordeu que un terme amb una variable també es pot factoritzar, fins i tot si la variable s’eleva a una potència. A l’hora de tenir en compte, heu de trobar un monomi que divideixi cada membre del binomi de manera integral. Per exemple, el monomi ${ displaystyle x ^ {4}}$ es pot factoritzar ${ displaystyle x * x * x * x}$... És a dir, si el segon terme del binomi també conté la variable "x", llavors "x" es pot treure dels claudàtors. Per tant, tracteu les variables com a enters. Per exemple:
   • Tots dos membres del binomi ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ contenen "t", de manera que es pot treure "t" del parèntesi: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • A més, una variable elevada a una potència es pot treure del suport. Per exemple, tots dos membres del binomi ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ contenir ${ displaystyle x ^ {2}}$, tan ${ displaystyle x ^ {2}}$ es pot treure del parèntesi: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Afegiu o resteu termes similars per obtenir un binomi. Per exemple, donada l’expressió ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... A primera vista, es tracta d’un polinomi, però de fet, aquesta expressió es pot convertir en un binomi. Afegiu termes similars: 6 i 14 (no contenen una variable) i 2x i 3x (contenen la mateixa variable "x"). En aquest cas, es simplificarà el procés de factoring:
   • Expressió original:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Ordenar els membres:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Afegiu termes similars:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Cerqueu el GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Factor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Tingueu en compte la diferència dels quadrats perfectes. Un quadrat perfecte és un nombre l’arrel quadrada de la qual és enter, per exemple ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ i fins i tot ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Si el binomi és la diferència de quadrats perfectes, per exemple, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, es factoritza per la fórmula:
   • Fórmula de diferència de quadrats:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • Una tasca:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Extreu les arrels quadrades:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Substituïu els valors trobats per la fórmula: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Factoreu la diferència entre els cubs complets. Si el binomi és la diferència de cubs complets, per exemple, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, es factoritza mitjançant una fórmula especial. En aquest cas, cal extreure l'arrel cub de cada membre del binomi i substituir els valors trobats a la fórmula.
   • La fórmula de la diferència entre cubs:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Una tasca:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extreure arrels cúbiques:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Substituïu els valors trobats per la fórmula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Factoreu la suma dels cubs complets. A diferència de la suma de quadrats perfectes, la suma de cubs complets, per exemple, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, es pot factoritzar mitjançant una fórmula especial. És similar a la fórmula de la diferència entre cubs, però els signes s’inverteixen. La fórmula és bastant senzilla: per utilitzar-la, trobeu la suma de cubs complets al problema.
   • La fórmula per a la suma de cubs:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Una tasca:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extreure arrels cúbiques:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Substituïu els valors trobats per la fórmula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Consells

• De vegades els membres binomials no tenen un divisor comú. En algunes tasques, els membres es presenten de forma simplificada.
• Si no podeu trobar GCD de seguida, comenceu dividint per nombres reduïts. Per exemple, si no veieu que el MCD dels números 32 i 16 és 16, dividiu els dos números per 2. Obteniu 16 i 8; aquests nombres es poden dividir per 8. Ara obtindreu 2 i 1; aquestes xifres no es poden reduir. Per tant, és obvi que hi ha un nombre més gran (en comparació amb el 8 i el 2), que és el divisor comú dels dos nombres donats.
• Tingueu en compte que els termes de sisè ordre (amb un exponent de 6, per exemple, x) són alhora quadrats perfectes i cubs perfectes. Per tant, als binomis amb termes de sisè ordre, per exemple, x - 64, es poden aplicar (en qualsevol ordre) les fórmules per a la diferència de quadrats i la diferència de cubs. Però és millor aplicar primer la fórmula per a la diferència de quadrats per descomposar-se de manera més correcta amb un binomi.

Advertiments

• Un binomi, que és la suma de quadrats perfectes, no es pot factoritzar.