Content

• Per trepitjar
• Mètode 1 de 2: la longitud dels costats d'un triangle rectangle
• Mètode 2 de 2: calculeu la distància entre dos punts del pla
• Consells

El teorema de Pitagòrica descriu la longitud dels costats d’un triangle rectangle d’una manera tan elegant i pràctica que encara s’utilitza àmpliament. Això afirma que per a qualsevol triangle rectangle, la suma dels quadrats de costats rectes és igual al quadrat de la hipotenusa. En altres paraules, per a un triangle rectangle (un triangle amb els costats perpendiculars entre si), amb costats de longitud a i b i una hipotenusa de longitud c: a + b = c. El teorema de Pitàgores és un dels pilars de la geometria i té nombroses aplicacions pràctiques; mitjançant aquest teorema, per exemple, és molt fàcil trobar la distància entre dos punts en un pla pla.

Per trepitjar

Mètode 1 de 2: la longitud dels costats d'un triangle rectangle

1. Comproveu si es tracta d’un triangle rectangle. El teorema de Pitàgores només es pot utilitzar amb triangles rectangles, de manera que abans de continuar és important verificar que el vostre triangle compleixi la definició de triangle rectangle. Afortunadament, només hi ha un factor decisiu al respecte: un dels angles del triangle ha de ser un angle de 90 graus.
   • Com a pista, els angles rectes sovint es marquen amb un petit claudàtor per indicar que es tracta d’un angle de 90 graus. Comproveu si hi ha un parèntesi en una de les cantonades del triangle.
2. Assigneu les variables a, b i c als costats del triangle. Al teorema de Pitàgores, les variables a i b es refereixen als costats rectes del triangle i la variable c a la hipotenusa, el costat llarg oposat a l'angle recte. Així doncs, per començar, assigneu variables a i b (l’ordre no importa) als costats rectes i c assigneu a la hipotenusa.
3. Determineu quin costat del triangle voleu saber. El teorema de Pitàgores us permet trobar la longitud de cada costat d’un triangle, sempre que es coneguin dos dels costats. Determineu quin dels costats té una longitud desconeguda - a, b, i / o c. Si només se’n desconeix un, podeu continuar.
   • Suposem que sabem que la hipotenusa té una longitud de 5 i un dels altres costats té una longitud de 3. La longitud del costat restant és desconeguda. Com que es coneixen dos dels costats, podem procedir a calcular la longitud del costat desconegut. Tornarem a utilitzar aquest exemple més endavant.
   • Si la longitud de dos dels costats són desconeguts, heu de determinar la longitud d'almenys un costat més per poder utilitzar el teorema de Pitàgores. Les funcions trigonomètriques bàsiques us poden ajudar, sempre que conegueu un dels altres angles no rectes del triangle.
4. Calculeu amb l'equació i les persones que coneixeu. Introduïu els valors de la longitud dels costats del triangle a l'equació a + b = c. Recordeu que a i b són els costats rectes i c és la hipotenusa.
   • En el nostre exemple, sabem la longitud d’un costat i la de la hipotenusa (3 i 5), de manera que escrivim la nostra equació així: 3² + b² = 5²
5. Calculeu els quadrats. Per resoldre la vostra equació, comenceu quadrant cadascun dels costats coneguts. Si ho trobeu més fàcil, podeu deixar el poder i només quadrar-lo més endavant.
   • En el nostre exemple, quadrem 3 i 5 per obtenir resp. 9 i 25 aconseguir. Ara podem reescriure l’equació com a 9 + b² = 25.
6. Aïllar la variable desconeguda a un costat del signe igual. Si cal, utilitzeu operacions algebraiques estàndard per aconseguir la incògnita a un costat del signe igual i els quadrats a l’altre. Si intenteu trobar la hipotenusa, aleshores c en el teorema ja es troba en un costat, de manera que podeu saltar-vos aquest pas.
   • En el nostre exemple, l’equació ara és 9 + b² = 25. Per aïllar b & sup2, restem 9 dels dos costats de l’equació. Això ens deixa amb b² = 16.
7. Agafeu l’arrel quadrada dels dos costats de l’equació. Ara hauríeu de tenir un quadrat (variable) a un costat de l’equació i un número a l’altre. Ara tireu de l'arrel quadrada d'ambdós costats per trobar la longitud del desconegut.
   • En el nostre exemple, b² = 16, l'equació després de l'arrelament quadrat és b = 4. Per tant, podem dir que la longitud del costat desconegut del nostre triangle és igual a 4.
8. Utilitzeu el teorema de Pitàgores a la pràctica. La raó per la qual s’utilitza tant el teorema de Pitàgores és perquè és aplicable per resoldre molts problemes pràctics. Apreneu a reconèixer els triangles rectangles del món que us envolta: allà on pugueu reconèixer un triangle rectangle sobre un o més objectes, el teorema de Pitagòrica és aplicable per trobar la longitud d’un dels costats, sempre que hi hagi dos costats o angles.
   • Prenguem un exemple del món real. Una escala es recolza contra una paret. El fons de l’escala es troba a 5 metres de la paret. L’escala arriba a 20 metres del fons de la paret. Quant de temps té l’escala?
     • "5 metres és la distància a la paret" i "l'escala té 20 metres d'alçada". Això dóna una indicació de la longitud dels costats del triangle. Com que podem suposar que la paret i el terra formen un angle recte i que l’escala està en diagonal contra la paret en angle, podem considerar aquesta disposició com un triangle rectangle, els costats del qual tenen una longitud de a = 5 i b = 20. La longitud de l’escala és la hipotenusa, la variable desconeguda c. Apliquem el teorema de Pitàgores:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • c = 20,6. La longitud de l'escala és (aproximada) 20,6 metres.

Mètode 2 de 2: calculeu la distància entre dos punts del pla

1. Definiu dos punts al pla. El teorema de Pitàgores es pot utilitzar molt fàcilment per trobar la distància en línia recta entre dos punts del pla. Tot el que necessiteu són les coordenades x i y de dos punts qualsevol. Normalment, aquestes coordenades s’escriuen com (x, y).
   • Per trobar la distància entre aquests dos punts, considerem cadascun dels punts com un dels vèrtexs d’un triangle rectangle, que no pertany a l’angle recte. Això fa que sigui molt fàcil trobar la longitud de a i b, després de la qual es pot calcular c (la hipotenusa i la distància entre els dos punts).
2. Dibuixa els dos punts en un gràfic. En un pla X-Y, per a cada punt (x, y), x és un punt de l'eix x horitzontal i y és un punt de l'eix y vertical. Podeu trobar la distància entre tots dos sense representar-los gràficament, però en fer-ho us proporcionarà una referència visual que podeu utilitzar per comprovar si la vostra resposta té sentit.
3. Determineu la longitud dels costats rectes del triangle. En considerar els vostres dos punts com els angles del triangle adjacent a la hipotenusa, podeu trobar la longitud dels costats a i b. Podeu fer-ho mitjançant el gràfic o mitjançant les fórmules | x₁ - x₂| per al costat horitzontal i | y₁ - i₂| per al costat vertical, on (x₁, y₁) és el primer punt i (x₂, y₂) el segon punt.
   • Suposem que tenim els punts (6,1) i (3,5). La longitud del costat horitzontal del nostre triangle és:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • La longitud del costat vertical és:
     • | y₁ - i₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Per tant, podem dir que la longitud dels costats del nostre triangle rectangle és igual a a = 3 i b = 4.
4. Utilitzeu el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenusa. La distància entre els dos punts és la longitud de la hipotenusa del triangle. Utilitzeu el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenusa del triangle, amb els costats a, b i c.
   • En el nostre exemple, coneixem els punts (3,5) i (6,1), i les longituds dels costats són a = 3 i b = 4, de manera que determinem la hipotenusa de la següent manera:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. La distància entre (3,5) i (6,1) és 5.

Consells

• Si el triangle no és un triangle rectangle, no podeu utilitzar el teorema de Pitàgores.
• La hipotenusa sempre és:
  • la línia oposada a l’angle recte
  • el costat més llarg del triangle rectangle
  • la variable c en el teorema de Pitàgores
• sqrt (x) significa "l'arrel quadrada de x".
• No oblideu comprovar sempre les vostres respostes. Si sembla que la resposta és incorrecta, reviseu els càlculs o torneu a començar.
• Si només coneixeu un costat del triangle, però també un dels altres angles (llavors l’angle recte), primer calculeu un altre costat amb el que sabeu sobre la trigonometria (sin, cos, tan) o les proporcions 30-60- 90 / 45-45-90.
• Una altra comprovació: el costat més llarg s’oposa a l’angle més gran i el costat més curt s’oposa a l’angle més petit.