Content

• Per trepitjar
• Mètode 1 de 2: arrel de l'arrel amb factors primers
• Mètode 2 de 2: trobar arrels quadrades sense una calculadora
• Amb divisió llarga
• Comprendre el procediment
• Consells
• Advertiments

Abans de l’aparició de les calculadores, tant els estudiants com els professors havien de calcular les arrels quadrades amb llapis i paper. Aleshores es van desenvolupar diverses tècniques per abordar aquest treball de vegades difícil, algunes de les quals donen una estimació aproximada i d'altres calculen el valor exacte. Seguiu llegint per obtenir informació sobre com trobar l’arrel quadrada d’un número en uns quants passos senzills.

Per trepitjar

Mètode 1 de 2: arrel de l'arrel amb factors primers

1. Dividiu el vostre nombre en factors de potència. Aquest mètode utilitza els factors d’un nombre per trobar l’arrel quadrada d’un nombre (en funció del nombre, pot ser una resposta exacta o una estimació). El factors d'un nombre determinat són qualsevol seqüència de nombres que es multipliquen junts per formar aquest nombre concret. Per exemple, es pot dir que els factors de 8 són iguals a 2 i 4 perquè 2 × 4 = 8. Els quadrats perfectes, en canvi, són enters que són el producte d'altres enters. Per exemple, 25, 36 i 49 són quadrats perfectes perquè són iguals a 5, 6 i 7. respectivament. Els segons factors de potència, com hauràs entès, són factors que també són quadrats perfectes. Per trobar una arrel quadrada amb factors primers, primer intenteu dividir el nombre en els seus segons factors de potència.
   • Agafeu l’exemple següent. Anem a trobar l’arrel quadrada de 400. Per començar, dividim el nombre en factors de potència. Com que 400 és múltiple de 100, sabem que és divisible per 25: un quadrat perfecte. La memòria ràpida ens diu que 400/25 = 16,16 també és un quadrat perfecte. Per tant, els factors de cub de 400 són 25 i 16 perquè 25 × 16 = 400.
   • Ho escrivim com: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Agafeu les arrels quadrades dels vostres segons factors de potència. La regla del producte d’arrels quadrades indica que per a un nombre determinat a i b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). A causa d'aquesta propietat, ara podem agafar les arrels quadrades dels factors quadrats i multiplicar-les juntes per obtenir la resposta.
   • En el nostre exemple, prenem les arrels quadrades de 25 i 16. Vegeu a continuació:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Si no es pot tenir en compte el número, simplifiqueu-lo. En realitat, els nombres que vulgueu determinar les arrels quadrades no seran bons números arrodonits amb bons quadrats com 400. En aquests casos, pot ser que no sigui possible obtenir un nombre sencer com a resposta. En lloc d'això, utilitzant tots els factors de potència que podeu trobar, podeu determinar la resposta com una arrel quadrada més petita i fàcil d'utilitzar. Feu això reduint el nombre a una combinació de factors de potència i altres factors, i després simplificant-lo.
   • Prenem com a exemple l’arrel quadrada de 147. 147 no és el producte de dos quadrats perfectes, de manera que no podem obtenir un bon valor enter. Però és el producte d’un quadrat perfecte i d’un altre número - 49 i 3. Podem utilitzar aquesta informació per escriure la nostra resposta en els termes més senzills:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Simplifiqueu, si cal. Utilitzant l’arrel quadrada en els termes més senzills, sol ser bastant fàcil obtenir una estimació aproximada de la resposta estimant les arrels quadrades restants i multiplicant-les. Una manera de millorar les vostres conjectures és trobar els quadrats perfectes a banda i banda del número de l’arrel quadrada. Ja sabeu que el valor decimal del número de l’arrel quadrada es troba en algun lloc entre aquests dos números, de manera que la vostra suposició també haurà d’estar entre aquests números.
   • Tornem al nostre exemple. Com que 2 = 4 i 1 = 1, sabem que Sqrt (3) està entre 1 i 2, probablement més a prop de 2 que 1. Estimem que 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Si ho comprovem amb la calculadora, veiem que estem força a prop de la resposta: 12,13.
     • Això també funciona per a les xifres més grans. Per exemple, sqrt (35) se situa aproximadament entre 5 i 6 (probablement més a prop de 6). 5 = 25 i 6 = 36,35 està entre 25 i 36, de manera que l’arrel quadrada estarà entre 5 i 6. Com que 35 és just per sota de 36, podem dir amb certa confiança que l’arrel quadrada d’aquest només és inferior a 6. Comprovar amb una calculadora ens dóna una resposta d’uns 5,92: teníem raó.
5. Com a primer pas, podeu simplificar el número a múltiple comú mínim. No és necessari cercar factors de potència si podeu trobar fàcilment factors primers d’un nombre (factors que també són nombres primers alhora). Escriviu el nombre en termes de múltiples mínims comuns. A continuació, cerqueu entre els vostres factors parells de nombres primers coincidents. Quan trobeu dos factors primers que coincideixen, traieu-los de l'arrel quadrada i del lloc a d'aquests números fora del signe de l'arrel quadrada.
   • Per exemple, determinem l’arrel quadrada de 45 mitjançant aquest mètode. Sabem que 45 = 9 × 5 i que 9 = 3 × 3. Per tant, podem escriure l’arrel quadrada així: Sqrt (3 × 3 × 5). Simplement elimineu els 3 i col·loqueu un 3 fora de l'arrel quadrada per obtenir una arrel quadrada simplificada: (3) Sqrt (5). Ara podeu fer un pressupost fàcilment.
   • Un darrer exemple; determinem l'arrel quadrada de 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Tenim diversos 2 a la nostra arrel quadrada. Com que 2 és primer, podem eliminar un parell i col·locar un 2 fora de l'arrel.
     • = La nostra arrel quadrada en termes més simples és (2) Sqrt (2 × 11) o (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Ara podem acostar-nos a Sqrt (2) i Sqrt (11) i trobar una resposta aproximada, si volíem.

Mètode 2 de 2: trobar arrels quadrades sense una calculadora

Amb divisió llarga

1. Dividiu els dígits del vostre número en parelles. Aquest mètode és similar a la divisió llarga, que us permet dividir la exacte arrel quadrada d’un nombre dígit per dígit. Tot i que no és essencial, dividir un nombre en peces viables pot facilitar la resolució, sobretot si és llarga. Primer dibuixeu una línia vertical que divideixi l'àrea de treball en 2 àrees, després una línia més curta a prop de la part superior de l'àrea dreta, dividint-la en una part superior més petita i una part més gran a sota. A continuació, dividiu el número en parells de nombres, començant pel punt decimal. Segons aquesta norma, 79520789182.47897 passa a ser "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Escriviu aquest número a la part superior esquerra.
   • Com a exemple, calculem l'arrel quadrada de 780,14. Dividiu el vostre espai de treball de la manera anterior i escriviu "7 80, 14" a l'extrem superior esquerre. Està bé si només hi ha un número a l’extrem esquerre, en lloc de dos. A continuació, escriviu la resposta (l'arrel quadrada de 780,14) a la part superior de l'àrea dreta.
2. Trobeu el nombre enter més gran n el quadrat és inferior o igual al dígit o número més esquerre. Trobeu el quadrat més gran que sigui menor o igual a aquest nombre i, a continuació, trobeu l’arrel quadrada d’aquest quadrat. Aquest número és n. Escriviu això a la zona superior dreta i escriviu el quadrat de n al quadrant inferior d’aquesta àrea.
   • En el nostre exemple, el dígit més esquerre és el número 7. Com que sabem que 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, podem dir que n = 2 perquè aquest és el nombre enter més gran el quadrat de la qual és menor o igual a 7. Escriu 2 al quadrant superior dret. Aquest és el primer dígit de la resposta. Escriu 4 (el quadrat de 2) al quadrant inferior dret. Aquest número és important per al següent pas.
3. Resteu el nombre que heu calculat del dígit o número més esquerre. Com passa amb la divisió llarga, el següent pas és restar el quadrat del nombre que acabem d’utilitzar per al càlcul. Escriviu aquest número sota el número més a l’esquerra i resteu-los. Escriviu la resposta a continuació.
   • En el nostre exemple, escrivim un 4 per 7 i el restem. Això dóna 3 en resposta.
4. Mou el següent número cap avall. Col·loqueu-lo al costat del valor que heu trobat a l'edició anterior. Multipliqueu el número de la part superior dreta per dos i escriviu-lo a la part inferior dreta. Deixeu espai al costat del número que acabeu d’anotar per a la suma que realitzareu al següent pas. Escriviu aquí "_ × _ =" ".
   • En el nostre exemple, el següent número és "80". Escriviu "80" al costat del 3 al quadrant esquerre. A continuació, multipliqueu el nombre de la part superior dreta per 2. Aquest número és 2, de manera que 2 × 2 = 4. Escriviu "" 4 "" a la part inferior dreta, seguit de _×_=.
5. Introduïu els números a la dreta. A l'espai en blanc de la suma (dreta), introduïu el nombre enter més gran que farà que el resultat de la suma de multiplicació de la dreta sigui inferior o igual al nombre actual de l'esquerra.
   • En el nostre exemple, introduïm 8 i això dóna 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Això és superior a 380. Per tant, 8 és massa gran, però probablement 7 no ho sigui. Omple 7 i resol: 4 (7) × 7 = 329. 7 és bo perquè 329 és inferior a 380. Escriu 7 a la part superior dreta. Aquest és el segon dígit de l’arrel quadrada de 780,14.
6. Resteu el número que acabeu de calcular del número actual de l'esquerra. Així, resteu el resultat de la multiplicació a la dreta de la resposta actual a l’esquerra. Escriviu la vostra resposta directament a sota.
   • En el nostre exemple, restem 329 de 380, i això dóna 51 com a resultat.
7. Repetiu el pas 4. Mou el següent parell de números cap avall des de la 780,14. Quan arribeu a una coma, escriviu aquesta coma a la resposta de la dreta. A continuació, multipliqueu el número superior dret per 2 i escriviu la resposta al costat de ("_ × _") tal com s'ha indicat anteriorment.
   • A la nostra resposta, ara escrivim una coma perquè també ho trobem a 780.14. Mou el següent parell (14) cap avall pel quadrant esquerre. 27 x 2 = 54, de manera que escrivim "54 _ × _ =" al quadrant inferior dret.
8. Repetiu els passos 5 i 6. Cerqueu el nombre més gran que doni una resposta inferior o igual al número actual de l’esquerra. Resoldre.
   • En el nostre exemple, 549 × 9 = 4941, que és menor o igual al nombre de l'esquerra (5114). 549 × 10 = 5490, que és massa alt, de manera que 9 és la nostra resposta. Escriu 9 com a següent número superior dret i resta el resultat de la multiplicació del nombre esquerre: 5114 -4941 = 173.
9. Perquè el resultat sigui precís, repetiu el procediment anterior fins que trobeu la resposta amb el nombre de decimals (centèsimes, mil·lèsimes) que necessiteu.

Comprendre el procediment

1. Considereu el nombre de l’arrel quadrada que voleu calcular com l’àrea S d’un quadrat. Com que l’àrea d’un quadrat és L, on L és la longitud d’un dels seus costats, per tant, en trobar l’arrel quadrada del vostre número, intenteu calcular la longitud L del costat d’aquest quadrat.
2. Doneu una carta a cada dígit de la vostra resposta. Introduïu la variable A com a primer dígit de L (l'arrel quadrada que intentem calcular). B és el segon dígit, C el tercer, etc.
3. Doneu una lletra a cada "parell de números" del número amb què comenceu. Doneu la variable S_a al primer parell de dígits de S (el valor inicial), S._b al segon parell de dígits, etc.
4. Comprendre la relació entre aquest mètode i la divisió llarga. Aquest mètode per trobar una arrel quadrada és essencialment una divisió llarga, on es divideix el valor inicial per la seva arrel quadrada i es "dóna" l'arrel quadrada com a resposta. Com passa amb la divisió llarga, on només us interessa el següent dígit alhora, només us interessen els dos dígits següents alhora (que corresponen al següent dígit de l'arrel quadrada).
5. Trobeu el nombre més gran el quadrat de la qual sigui inferior o igual a S._a és. El primer dígit A de la nostra resposta és llavors el nombre enter més gran el quadrat del qual no és superior a S._a (A tal que A² ≤ Sa (A + 1) ²). En el nostre exemple, S_a = 7 i 2² ≤ 7 3², de manera que A = 2.
   • Tingueu en compte que si es divideix 88962 per 7 mitjançant una divisió llarga, el primer pas és igual: primer es tracta del primer dígit de 88962 (8) i es vol que el dígit més gran es multipliqui per 7 que sigui inferior o igual a 8. Essencialment determinar d tal que 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). En aquest cas, d és igual a 1.
6. Visualitzeu el quadrat on voleu trobar l'àrea. La vostra resposta, l'arrel quadrada del valor inicial, és L, que descriu la longitud d'un quadrat amb l'àrea S (el valor inicial). Els valors d'A, B i C representen els dígits del valor L. Una altra manera de dir-ho és que per a una resposta de 2 dígits, 10A + B = L, i per a una resposta de 3 dígits, 100A + 10B + C = L, etc.
   • En el nostre exemple (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Recordeu que 10A + B representa la nostra resposta L juntament amb B a la posició d'unitats i A a la posició de desenes. Per exemple, si A = 1 i B = 2, llavors 10A + B és el número 12. (10A + B) ² és l'àrea de tota la plaça, mentre que 100A² és l'àrea de la plaça interior més gran, B² és la zona de la plaça més petita i 10A × B és l'àrea de cadascun dels rectangles restants. Mitjançant aquest llarg i complicat procediment, podem trobar l'àrea de tot el quadrat afegint les àrees dels quadrats i rectangles que en formen part.
7. Resta A² de S._a. Porteu un parell de nombres (S._b) cap avall del número S. S._a S._b és gairebé l'àrea total del quadrat, de la qual acabeu de restar l'àrea del quadrat interior més gran. La resta és, per exemple, el número N1, que hem obtingut al pas 4 (N1 = 380 al nostre exemple). N1 és igual a 2 × 10A × B + B² (l'àrea dels 2 rectangles més l'àrea del quadrat petit).
8. Mireu N1 = 2 × 10A × B + B², també escrit com N1 = (2 × 10A + B) × B. En el nostre exemple, ja coneixeu N1 (380) i A (2), de manera que ara heu de trobar B. Probablement B no sigui un nombre enter, així que heu de fer-ho en realitat trobeu el nombre enter més gran B, de manera que (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Ara teniu: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Resol l’equació. Per resoldre aquesta equació, multiplica A per 2, mou-la a la desena (multiplica per 10), posa B a les unitats i multiplica el resultat per B. En altres paraules, (2 × 10A + B) × B. Això és exactament el que feu quan escriviu "N_ × _ =" (amb N = 2 × A) al quadrant inferior dret del pas 4. Al pas 5, determineu el nombre enter més gran B que s'adapti a la línia, de manera que (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Resteu l'àrea (2 × 10A + B) × B de l'àrea total. Això dóna l'àrea S- (10A + B) ² que encara no heu tingut en compte (i que utilitzeu per calcular els números següents de la mateixa manera).
11. Per calcular el següent dígit C, repetiu el procediment. Mou el següent parell de números de S cap avall (S_c) per obtenir N2 a l'esquerra i buscar el C més gran de manera que tingueu ara: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (igual al doble del número de dos dígits "AB" seguit per "_ × _ =" Ara determineu el nombre més gran que podeu introduir aquí, que us donarà una resposta inferior o igual a N2.

Consells

• Moure la coma per dos llocs (un factor de 100) mou la coma de l’arrel quadrada corresponent per un lloc (un factor de 10).
• A l'exemple, 1,73 es podria considerar "resta": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Aquest mètode funciona per a qualsevol sistema numèric, no només per al sistema decimal (decimal).
• No dubteu a col·locar els càlculs on vulgueu. Algunes persones l’escriuen per sobre del nombre del qual volen calcular l’arrel quadrada.
• Un mètode alternatiu és el següent: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...)))). Per exemple, per calcular l’arrel quadrada de 780,14, prenem l’enter el quadrat del qual és més proper a 780,14 (28), de manera que = 780,14, x = 28 i y = -3,86. Omplir i estimar ens dóna x + y / (2x) i això dóna (termes simplificats) 78207/2800 o aproximadament 27.931 (1); el terme següent, 4374188/156607 o aproximadament 27.930986 (5). Cada terme afegeix uns 3 decimals de precisió a l'anterior.

Advertiments

• Assegureu-vos de dividir el número en parells del punt decimal. Dividint 79520789182.47897 com a "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "dóna un resultat incorrecte.