Content

• Per trepitjar
• Mètode 1 de 3: utilitzar el mètode de substitució
• Mètode 2 de 3: utilitzar el mètode d’eliminació
• Mètode 3 de 3: dibuixeu gràficament les equacions
• Consells
• Advertiments

En un "sistema d'equacions" se us demana que resolgueu dues o més equacions al mateix temps. Quan aquestes dues contenen variables diferents, com ara x i y, o a i b, pot ser difícil a primera vista veure com resoldre-les. Afortunadament, un cop sabeu què cal fer, només necessiteu algunes habilitats bàsiques en matemàtiques (i, de vegades, algunes fraccions) per resoldre el problema. Si és necessari, o si sou estudiant visual, apreneu també a representar gràficament les equacions. Fer gràfics (dibuixar) un gràfic pot ser útil per "veure què passa" o per comprovar el vostre treball, però també pot ser més lent que els altres mètodes i no funciona amb tots els sistemes d'equacions.

Per trepitjar

Mètode 1 de 3: utilitzar el mètode de substitució

1. Moveu les variables als diferents costats de l'equació. Aquest mètode de "substitució" comença per "resoldre x" (o qualsevol altra variable) en una de les equacions. Per exemple, tenim les equacions següents: 4x + 2y = 8 i 5x + 3x = 9. En primer lloc, observem la primera comparació. Reorganitzeu restant 2y de cada costat i obtindreu: 4x = 8-2y.
   • Aquest mètode sovint utilitza fraccions en una etapa posterior. També podeu utilitzar el mètode d’eliminació següent si preferiu no treballar amb fraccions.
2. Dividiu els dos costats de l'equació per resoldre la "x". Quan tingueu el terme x (o la variable que utilitzeu) en un costat de l'equació, dividiu els dos costats de l'equació per aïllar la variable. Per exemple:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Torneu a connectar-lo a l’altra equació. Assegureu-vos de tornar a Altres comparació, no la que ja heu utilitzat. En aquesta equació, substituïu la variable que heu resolt, deixant només una variable. Per exemple:
   • Ara ja sabeu que: x = 2 - ½y.
   • La segona equació, que encara no heu canviat, és: 5x + 3x = 9.
   • A la segona equació, substituïu x per "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Resol la resta de la variable. Ara teniu una equació amb només una variable. Utilitzeu tècniques d’àlgebra habituals per resoldre aquesta variable. Si les variables es cancel·len, passeu al darrer pas. En cas contrari, acabareu amb una resposta a una de les vostres variables:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Si no enteneu aquest pas, apreneu a afegir fraccions. Sovint, però no sempre, és necessari amb aquest mètode).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Utilitzeu la resposta per resoldre l'altra variable. No cometeu l’error d’acabar el problema a la meitat. Haureu de tornar a introduir la resposta que heu obtingut en una de les equacions originals perquè pugueu resoldre l'altra variable:
   • Ara ja sabeu que: y = -2
   • Una de les equacions originals és: 4x + 2y = 8. (Ambdues equacions es poden utilitzar per a aquest pas).
   • Connecteu -2 en lloc de y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Sabeu què heu de fer si ambdues variables es cancel·len. Quan tu x = 3y + 2 o obtenir una resposta similar a l’altra equació, proveu d’obtenir una equació amb només una variable. De vegades acabes amb una equació sense les variables. Comproveu de nou el vostre treball i assegureu-vos de substituir la primera equació (reordenada) de la segona equació, i no la primera. Si esteu segur que no heu comès cap error, obtindreu un dels resultats següents:
   • Si teniu una equació sense variables i que no és certa (per exemple, 3 = 5), teniu el problema cap solució. (Si heu representat gràficament les equacions, veureu que són paral·leles i no es creuen mai).
   • Si acabes amb una equació sense variables, però sí bé és cert (per exemple, 3 = 3), aleshores té el problema un nombre infinit de solucions. Les dues equacions són exactament iguals. (Si dibuixeu gràficament les dues equacions, veureu que es superposen exactament).

Mètode 2 de 3: utilitzar el mètode d’eliminació

1. Determina la variable que cal eliminar. De vegades, les equacions "s'eliminaran" mútuament en una variable tan bon punt les afegiu. Per exemple, quan feu les equacions 3x + 2y = 11 i 5x - 2y = 13 combinacions, el "+ 2y" i el "-2y" es cancel·laran mútuament, amb totes les "ys eliminen de l’equació. Mireu les equacions del vostre problema per esbrinar si alguna de les variables s’eliminarà d’aquesta manera. Si no s'elimina cap de les variables, llegiu el pas següent per obtenir consells.
2. Multiplicar una equació per cancel·lar una variable. (Omet aquest pas si les variables ja s’han eliminat). Si cap de les variables de les equacions no es cancel·la per si mateixa, haureu de canviar una de les equacions perquè ho faci. Això és més fàcil d’entendre amb un exemple:
   • Suposem que teniu el sistema d’equacions 3x - y = 3 i -x + 2y = 4.
   • Canviem la primera equació perquè la variable sigui y s’elimina. (També podeu fer això per X fer i obtenir la mateixa resposta).
   • El - y " de la primera equació s'ha d'eliminar amb la + 2 anys A la segona equació. Ho podem fer - i multiplicar per 2.
   • Multiplicem els dos costats de la primera equació per 2, de la següent manera: 2 (3x - y) = 2 (3), i per tant 6x - 2y = 6. Ara ho farà - 2 anys caure contra el + 2 anys a la segona equació.
3. Combineu les dues equacions. Per poder combinar dues equacions, afegiu els costats dret i esquerre. Si heu escrit correctament l'equació, una de les variables hauria de cancel·lar-se contra l'altra. Aquí teniu un exemple que utilitza les mateixes equacions que l'últim pas:
   • Les vostres equacions són: 6x - 2y = 6 i -x + 2y = 4.
   • Combineu els costats esquerres: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Combineu els costats drets: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Resol la darrera variable. Simplifiqueu l’equació combinada i després utilitzeu l’àlgebra bàsica per resoldre l’última variable. Si no queden variables després de la simplificació, continueu fins a l'últim pas d'aquesta secció. En cas contrari, hauríeu d’acabar amb una resposta senzilla a una de les vostres variables. Per exemple:
   • Tu tens: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Agrupeu les variables X i y amb l'altre: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Simplifiqueu: 5x = 10
   • Resol per x: (5x) / 5 = 10/5, i que x = 2.
5. Resol per a les altres variables. Heu trobat una variable, però encara no heu acabat. Substituïu la vostra resposta per una de les equacions originals perquè pugueu resoldre l’altra variable. Per exemple:
   • Ho saps x = 2, i aquella de les vostres equacions originals 3x - y = 3 és.
   • Connecteu 2 en lloc de x: 3 (2) - y = 3.
   • Resol i en l’equació: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, tan 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Saber què cal fer quan ambdues variables es cancel·len. De vegades, la combinació de dues equacions resulta en una equació que no té cap significat o que no us ajuda a resoldre el problema. Comproveu la vostra feina des del principi, però si no us heu equivocat, escriviu una de les respostes següents:
   • Si la vostra equació combinada no té variables i no és certa (com 2 = 7), sí cap solució que val per a ambdues equacions. (Si dibuixeu ambdues equacions, veureu que són paral·leles i que no es creuen mai).
   • Si la vostra equació combinada no té variables i és certa (com ara 0 = 0), hi haurà un nombre infinit de solucions. Les dues equacions són realment idèntiques. (Si els col·loqueu en un gràfic, veureu que es superposen completament).

Mètode 3 de 3: dibuixeu gràficament les equacions

1. Utilitzeu aquest mètode només quan s’especifiqui. A menys que utilitzeu un ordinador o una calculadora gràfica, molts sistemes d’equacions només es poden resoldre aproximadament mitjançant aquest mètode. És possible que el vostre professor o el vostre llibre de text de matemàtiques us demanin que utilitzeu aquest mètode, de manera que probablement estigueu familiaritzat amb equacions gràfiques com ara línies. També podeu utilitzar aquest mètode per comprovar si les respostes d’algun dels altres mètodes són correctes.
   • La idea bàsica és que dibuixeu les dues equacions i determineu el punt on es creuen. Els valors xy en aquest punt donen el valor de x i el valor de y en el sistema d’equacions.
2. Resol ambdues equacions per y. Mantingueu separades les dues equacions i utilitzeu l'àlgebra per convertir cada equació a la forma "y = __x + __". Per exemple:
   • La primera equació és: 2x + y = 5. Canvieu-ho per: y = -2x + 5.
   • La segona equació és: -3x + 6y = 0. Canvieu-ho per 6y = 3x + 0, i simplificar a y = ½x + 0.
   • Les dues equacions són idèntiques, llavors tota la línia es converteix en un "punt d'intersecció". Escriu: infinites solucions.
3. Dibuixa un sistema de coordenades. Dibuixeu un "eix y" vertical i un "eix x" horitzontal en un full de paper mil·limetrat. Comenceu pel punt en què es tallen les línies i marqueu els números 1, 2, 3, 4, etc. cap amunt per l'eix y i cap a la dreta de nou al llarg de l'eix x. Marqueu els números -1, -2, etc. al llarg de l'eix y cap avall i cap a l'esquerra al llarg de l'eix x.
   • Si no teniu paper mil·limetrat, utilitzeu una regla per assegurar-vos que els números estiguin espaiats uniformement.
   • Si feu servir nombres grans o decimals, és possible que hàgiu d’escalar el gràfic. (Per exemple, 10, 20, 30 o 0,1, 0,2, 0,3 en lloc d'1, 2, 3).
4. Dibuixa la intersecció y de cada línia. Un cop tingueu una equació en el formulari y = __x + __ podeu començar a dibuixar-lo configurant un punt on la línia intercepti l'eix y. Això sempre té un valor y, igual a l'últim número d'aquesta equació.
   • En els exemples esmentats anteriorment, una línia (y = -2x + 5) a l’eix y 5. L'altra línia (y = ½x + 0) passa pel punt zero 0. (Són els punts (0,5) i (0,0) del gràfic).
   • Indiqueu cadascuna de les línies amb un color diferent, si és possible.
5. Utilitzeu el pendent per continuar dibuixant les línies. En el formulari y = __x + __, és el número per a x th pendent fora de línia. Cada vegada que x s’incrementa en un, el valor y augmentarà amb el valor del pendent. Utilitzeu aquesta informació per trobar el punt del gràfic de cada línia quan x = 1. (Alternativament, substituïu x = 1 per cada equació i resoleu per y).
   • En el nostre exemple, la línia té y = -2x + 5 un pendent de -2. A x = 1 la línia 2 baixa avall a partir del punt x = 0. Dibuixeu el segment de línia entre (0,5) i (1,3).
   • La regla y = ½x + 0té un pendent de ½. En x = 1, la línia va ½ amunt a partir del punt x = 0. Dibuixeu el segment de línia entre (0,0) i (1, ½).
   • Quan les línies tenen el mateix pendent les línies no es creuaran mai, de manera que no hi ha solució per al sistema d’equacions. Escriu: cap solució.
6. Continueu traçant les línies fins que es creuin. Atureu-vos i mireu el vostre gràfic. Si les línies ja s'han creuat, passeu al pas següent. En cas contrari, preneu una decisió en funció del que fan les línies:
   • A mesura que les línies es mouen entre si, continueu dibuixant punts en aquesta direcció.
   • Si les línies s’allunyen les unes de les altres, retrocedeix i dibuixa punts en l’altra direcció, començant per x = -1.
   • Si les línies no es troben cap a prop l’una de l’altra, salteu cap endavant i traqueu punts més llunyans, com ara x = 10.
7. Cerqueu la resposta a la intersecció de les línies. Una vegada que les dues línies es tallen, els valors x i y en aquest punt són la solució al problema. Si teniu sort, la resposta serà un nombre enter. Per exemple, en els nostres exemples, les dues línies es creuen (2,1) així és la vostra resposta x = 2 i y = 1. En alguns sistemes d'equació, les línies es creuaran en un valor entre dos enters i, tret que el gràfic sigui extremadament precís, serà difícil saber on es troba. Si aquest és el cas, podeu donar una resposta com: "x està entre 1 i 2". També podeu utilitzar el mètode de substitució o d’eliminació per trobar la resposta exacta.

Consells

• Podeu comprovar el vostre treball introduint les respostes a les equacions originals. Si les equacions són certes (per exemple, 3 = 3), la vostra resposta és correcta.
• En el mètode d’eliminació, de vegades heu de multiplicar una equació per un nombre negatiu per eliminar una variable.

Advertiments

• Aquests mètodes no es poden utilitzar si es tracta d'un número de potència, com ara x. Per obtenir més informació sobre equacions d’aquest tipus, necessitareu una guia per calcular el quadrat amb dues variables.